f(x)= ln(x) = loge(x)
Die natürliche Logarithmusfunktion ist eine Logarithmusfunktion mit der Basis e (e ist Eulersche Zahl e=2,7182818...)
Wichtige Eigenschaften Der LN Funktion: 1) Nullstelle: ln(1) = 0
2) x→0 ⇒ lnx→−∞
3) Definitionsbereich
D = R+
4) ( ln (x) )' = 1. 1/x = 1/x
Ableitung der Funktion
5) Der Grapf ln(x) streng monoton steigend
Wenn eine Ableitung der Funktion immer positiv ist,
ist Funktion immer steigend.
6) ln(e) = 1 e = 2,7182818...
Mit den verschiedenen Aufgaben , kann man die LN FUNKTION besser lernen.
** Bestimmen Sie den Definitionsbereich und geben Sie die Nullstellen an **
a) f(x) = (x²-4).ln(2x-1)
Bei der Nullstellenberechnung achten wir besonders auf die Produktschreibweise, um die Faktoren einzeln Null zu setzen.
0 = (x²-4).ln(2x-1) 1. Faktor: 0 = x²-4 x = -2 und x = +2
2. Faktor: 0 = ln(2x-1) Argument (2x-1) = 1 NUR LN(1) ergibt 0
2x-1 = 1 , x = 1
Überprüfen wir den Sachverhalt lieber noch einmal:
f(+2)=(2²-4).ln(2.2-1)=0.ln(3)=0 OK!
f(-2)=((-2)²-4).ln(2.(-2)-1)=0.ln(-5) DIE LN FUNKTION IST NUR FÜR POSITIVE ARGUMENTE DEFINIERT!!! Deswegen ist ln(-5) nicht definiert.
Wir haben den Definitionsbereich missachtet.Auch wenn die Nullstelle von einem ganz anderen Funktionsteil stammt- muss man sie überall für x einsetzen können.
Für die Definitionsmenge: Bedingung: 2x-1 > 0 D(f)=(x ,R; x > 1/2 ) Diese Bedingung wird aber von der Nullstellen x = -2 nicht erfüllt. Die einzigen Nullstellen sind also x = +2 und x =1
b) f(x) = 2.ln(x+1) Definitionsbereich : x+1 > 0 x > -1
Nullstellen : 2.ln(x+1) = 0 x+1=1 x = 0
c) f(x) = -x + ln(1-x) Definitionsbereich : 1-x > 0 x < 1
Nullstellen : f wird in zwei Teilfunktionen zerlegt.
g(x) = -x h(x) = ln(1-x) einzige Lösung x= 0
d) fx) = x.ln(x² + 1) Definitionsbereich : x² + 1 > 0 x² > -1 D(f) = { }
Nullstellen : x.ln(x² + 1) = 0 x=0 und x² + 1= 1 x=0
e) fx) =ln(x+1)/2 Deinitionsbereich : { x Î R ; x > -1 } x +1 > 0 x >-1
= 1 x+1=1 x=0
f) f(x) = - ln( -x² ) Definitionsbereich : - x² > 0 nicht möglich D(f) ={ }
Nullstellen : 0= - ln(- x² ) Argument muss immer > 0 sein
Keine Nullstelle !
g) f(x) = ln (x² -1)/(x+1) Definitionsbereich : x² -1 > 0 x² >1 x= ± 1
x+1¹0 x¹ -1 Deswegen -1 enfällt
x+1¹0 x¹ -1 Deswegen -1 enfällt
Nullstellen : ln(x²-1)/(x+1) = 0 ln( x²-1) = 0
=1 x²-1 =1
x= ± 2
h) fx) = 1/1-ln x² Definitionsbereich : lnx² ¹ 1 x²¹e x ¹ ±e
Nullstellen : 0=1/1-ln x² 1¹lnx² 1¹x² x ¹ ±1 Keine Lösung!!
Bis hier haben wir für eine Funktionsuntersuchung Nullstellen und Definitionsbereich erklärt.Für eine Funktion brauchen wir mehr zB.Ableitung
**Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung und fassen Sie die Funktiosterme weitsgehend zusammen.**
a) f(x)=2x+ln(x+1) b) f(x)=x.ln2x c) f(x)=1/2.ln(x²) d) f(x)=1/x+lnx²
f(x)'=2+1/x+1 f(x)'=ln2x+1/x f(x)'=1/2.1/x².2x=1/x f(x)'= 2x-1/x^2
e) f(x)=1+ln(x²-2x) f) f(x)=1/lnx
f(x)=2x-2/x²-2x f(x)'=-1/x.(lnx)²
**Lösen Sie die Gleichungen **
Häufig ist es sinnvoll,beim Lösen von Gleichungen den Logarithmus wieder als Potenz zu schreiben.Die Gleichung sollte vereinfacht werden falls möglich.Beim überprüfen der Lösungen stellt man fest, dass einige entfallen,weil die Probe nicht funktioniert.
a) lnx=0,5 x=e^1/2 ^ bedeutet Hoch)
x» 1,65
b) 2.ln(x+1)=4
e^(lnx+1)²=e^4 (x+1)^2=4 x+1 = e^2 x=e^2- 1 x»6,39
