Eine kleine Information:
TRI : bedeutet 'drei'
GON : bedeutet 'Winkel ' / ' Eck ' wie Pentagon (das Fünfeck mit fünf Winkeln )
METRIE : bedeutet ' Messung ' wie Geometrie
Das Wort impliziert die Dreieckwinkelmessung oder die Dreiecksberechnung. Während Planimetrie die Konstruktion eines Dreicks aus gegebenen Stücken lehrt, bei der die Genaugkeit der Resultate verhältnismässig geringst liefert die Trigonometrie auf rechnerischem Wegexaktere Ergebnisse.
In einem rechtwinkligen Dreieck ABC seien a und b die Katheten , c die Hypothenuse die spitzen Winkel entsprechend
α und ß wobei gilt : α + β = 90 Man nennt a die Gegenkathete und b die Ankathete des Winkels
Drei Wichtige Merksätze:
1) Positive Winkel verlaufen im Gegenuhrzeigersinn
2) Mit Sin, Cos, Tan sind alle unbekannten Werte im rechtwinkligen Dreieck erreichbar. Cot ist nicht nötig.
3) Stets müssen zwei Werte bekannt sein, um den dritten Wert zu berechnen.
Die Seitenverhältnisse
Ankathete:Berührt den gemeinten Winkel
Gegenkathete:Liegt dem gemeinten Winkel gegenüber
Hypothenuse:Liegt dem rechten Winkel gegenüber
Sinus :Das Seitenverhältnis Gegenkathete zu Hypothenuse
G a
sinα = ------- = -------
H c
Cosinus : Das Seitenverhältnis Gegenkathete zu Hypothenuse
A b
cosα = ------- = -------
H c
Tangens : Das Seitenverhältnis Gegenkathete zu Ankathete
G a
tanα = ------- = -------
A b Cotangens : Das Seitenverhältnis Ankathete zu GegenkatheteTangens : Das Seitenverhältnis Gegenkathete zu Ankathete
G a
tanα = ------- = -------
A b
cotα = ------- = -------
G a
Es gibt auch zwei Seitenverhältnisse cotangens und secans , die beide trigonometrische Funktionen seit längerem nicht mehr gebräuclich sind.
Anwendung des Sinus und Cosinussatz:( gilt ein algemeines Dreieck )
Der Sinussatz kann in Dreiecken angewendet werden, bei denen
* 2 Seiten und ein nicht von ihnen eingeschlossener Winkel gegeben sind ( SSW )
* 2 Winkel in die eingeschlossener Seite gegeben sind ( WSW )
Der Cosinussatz kann in Dreiecken angewendet werden , bei denen
* 3 Seiten gegeben sind (SSS )
* 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind ( WSW )
Trigonometrie im Alltag
- Mit den trigonometrische Funktion die Höhe von Bäumen berechnet. Es genügt, lediglich den Winkel bis zur Baumkrone.
- Entfernungen leichter schätzen: Mit den Winkelfunktionen lassen sich tolle Dinge anstellen. Mit ihnen ist es auch möglich seinen Daumen zur Entfernungbestimmung zu benutzen.Dies kann man sich etwa beim Golfspielen zunutzemachen, um die Entfernung zum loch besser abschätzen zu können. Dazu ist es lediglich nötig, die Höhe der Fahnen zu kennen.
- Höhe von Wolken ermitteln.
- Sie Spannung in der Steckdose entsteht beispielweise auf der Grundlage einer Sinus_Funktion
Zuerst wird eine Standlinie s abgesteckt. Von s aus wird ein markanter Punkt C auf den gegenüberliegenden Ufer unter dem Winkel α= 90° zur Standlinie angepeilt und so der Punkt A festgelegt. Von einem weiteren Punkt B auf der Standlinie wieder C angepeilt und der Winkel β sowie die Länge der Strecke AB gemessen. Mit diesen Daten jetzt ein maßstabgerechtes Dreieck gezeichnet und die Flussbreite b näherungsweise bestimmt werden.
EINHEITSKREIS : Der Einheitskreis ist der Kreis um den Ursprung mit Radius r= 1
cos α= x Werte
sin α = y Werte
sin α = y Werte
Vorzeichen des Kosinus
Vorzeichen des Sinus
