KURVENDISSION UND INTEGRAL / Online Rechner

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ABITUR AUFGABEN

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FÜR ZP/ ZENTRALE PRÜFUNG AUFGABEN ZU ÜBEN

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AUFGABEN MIT LÖSUNGEN FÜR ZP

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                                                   ÜBUNGEN

ZP / Zentrale Prüfung

 Alle Themen sind zusammengefasst

 

 

 

 

 

  

 

  

 

 

 

 

online-Ableitungsrechner

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ABLEITUNG

Sekantensteigungen, Tangentensteigung,

Ableitung, ...

Warum tun wir uns das an?

•  Um augenblickliche Werte veranderliche Größen zu bestimmen ( Momentangeschwindigkeit,....

• Um zu wissen, wie ,,rasch" sich eine Größe verändert ( Temperaturkurve, Aktienkurse,...

  Um Extremwerte ( Minimum, Maximum zu finden ( Kostenfunktion,....  f′(x)

Anschauliche bedeutung von f'(x)

f'(x)=Steigung =Tangentensteigung =Bei den Aufgaben Zunahme / Aufnahme

„Ableiten“ nennt man auch „Differenzieren“.

Die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x

gibt die Steigung des Graphen der Funktion an dieser Stelle an.Bezeichnet wird sie zumeist mit f′(x).
 f′(x)

.

Ist f′(x0)>0, so steigt der Graph von f an der Stelle x0

.
Ist f′(x0)<0, so fällt der Graph von f an der Stelle x0
.
An den Extremstellen der Funktion und an Terrassenpunkten gilt:
f′(x0)=0

.
Die Ableitung spielt daher eine wichtige Rolle bei der Berechnung der Extrema und bei der Untersuchung der Monotonie einer Funktion.

Funktionen, die an jeder Stelle x

der Definitionsmenge eine Ableitung besitzen, nennt man differenzierbar. Das Berechnen der Ableitung nennt man Differenzieren.

Definition

Die Ableitung an einem Punkt

Die Ableitung ist zunächst nur für einen Punkt (x0|f(x0))

 auf dem Graphen einer Funktion f(x)  bzw. für eine Stelle x0  definiert. Sie ist gegeben durch
limx→x0f(x)−f(x0)x−x0
oder alternativ limh→0f(x0+h)−f(x0)h.
Anschaulich erhält man durch den Differenzenquotienten die Steigung der Sekante an den Funktionsgraphen von dem Punkt x0
und einem anderen Punkt. Die Idee bei beiden Defintionen ist, dass man die Tangente durch Sekanten annähert, indem man den x-Wert des zweiten Punktes immer näher an x0

wählt. 

Was bedeutet diese Definition anschaulich?  

Die Bilderfolge veranschaulicht die Bildung des Grenzwerts mit der Definition 

limh→0f(x0+h)−f(x0)h.

Im Folgenden wird die Ableitung der Funktion f(x)

an der Stelle x0 berechnet. Der Punkt A=(x0|f(x0)) ist der entsprechende Punkt auf dem roten Funktionsgraphen. Nun wähle man einen zweiten Punkt B, dessen x-Koordinate um h größer ist als x0, also x0+h. Dieser Punkt besitzt also die Koordinaten B=(x0+h|f(x0+h)). Durch diese zwei Punkte A und B lässt sich die zugehörige Sekante g bestimmen.
Wird nun der Punkt B
auf dem Graphen in Richtung von A "geschoben" (d.h. die x-Koordinate xB von B immer weiter an die x-Koordinate xA von A angenähert, also h immer weiter verringert), so wird die Sekante g im Grenzfall xB=xA=x0 zur Tangente. Die mit Hilfe des Differenzenquotienten ermittelbare Sekantensteigung wird somit zur Tangentensteigung, die wiederum dem Wert der Ableitung der Funktion f an der Stelle x0

entspricht.

A

A und B liegen weit auseinander. Die türkise Gerade schneidet gut sichtbar den roten Graphen. Man erhält also eine Sekante.
Die Steigung der Sekante ist mit einem Steigungsdreieck (vgl. Differenzenquotient) f(x0+h)−f(x0)h

zu bestimmen.

Nun wird der Grenzwert gebildet.
limh→0

 bedeutet, dass der Wert von h immer kleiner wird. Das bedeutet wiederum, dass x0 und x0+h, also A und B

immer näher aneinander kommen, bis...

... die Differenz h

ganz verschwindet, also A=B ist. Die türkise Gerade berührt den roten Graphen an dieser Stelle. Wir bekommen also eine Tangente.
Die Steigung dieser Tangente ist gleich der Ableitung an der Stelle x0

.Warum gibt es verschiedene Ableitungsregeln ?

Fast jeder Funktionstyp hat eine andere Ableitungsregel, d.h. man muss die verschiedenen Ableitungsregeln von Polynomen, Exponentialfunktionen, sin- und cos-Funktionen kennen.
Bei schwierigen Funktionen muss man (abgesehen von den „normalen“ Ableitungsregeln) noch drei spezielle Regeln angewendet werden: die Kettenregel, die Produktregel und die Quotientenregel.

Existiert die Ableitung für alle Werte des Definitionsbereichs?

Nicht jede Funktion besitzt in jedem Punkt eine Ableitung. Das kann zum Beispiel daran liegen, dass die Funktion an einer Stelle einen Knick besitzt oder unstetig ist. So ist zum Beispiel die Betragsfunktion f(x)=|x|

an der Stelle 0 nicht differenzierbar. Der Artikel „Differenzierbarkeit“ liefert zu diesem Thema genauere Informationen.

Wofür braucht man Ableitungen?

Die erste Ableitung gibt die Steigung einer Funktion an.
Hat man eine Funktion gegeben, dann kann man aus der Ableitung zum Beispiel ablesen, wann die Funktion am stärksten steigt bzw. gar nicht steigt und kann dadurch Rückschlüsse ziehen, wie der Funktionsgraph aussieht. Diese Methode dient unter anderem der Bestimmung von Extremstellen bzw. Extremwerten.
Bildet man die Ableitung der Ableitung, so erhält man die zweite Ableitung, sozusagen die Steigung der Steigung. Die zweite Ableitung ist die Krümmung des Funktionsgraphen.
Die zweite Ableitung ermöglicht z.B. eine Antwort auf die Frage: Wann ist die Steigung konstant?

Ableitungen in der Kurvendiskussion

Ableitung	Beispiel	Bedeutung
Ausgangsfunktion:	f(x)=x3−6x2+10x−1

Erste Ableitung:	f′(x)=3x2−12x+10

Steigung von f

Zweite Ableitung:	f′′(x)=6x−12

Krümmung von f

• Jeder x-Wert eines Extremums der Funktion ist eine Nullstelle der Ableitung.
• Jeder x-Wert eines Wendepunktes einer Funktion ist ein x-Wert eines Extremums der Ableitung.
• Jeder x-Wert eines Wendepunktes einer Funktion ist eine Nullstelle der zweiten Ableitung.
• Achtung: Die Rückrichtung dieser Aussagen muss nicht richtig sein.

Ableitung und Integral

Das Integral ist das Gegenstück zur Ableitung. Leitet man eine integrierte Funktion ab, erhält man die ursprüngliche Funktion und ebenso umgekehrt (abgesehen von einer Konstante, die hier noch hinzukommen kann).