Beispiel 1
Ein Handwerker nimmt 50 € pro Stunde. Außerdem lässt er sich die Anfahrt mit 40 € bezahlen.Hier haben wir ein einfaches Beispiel einer linearen Funktion. Die 40 € bezeichnet man auch als Fixkosten, da sie unabhängig von der Arbeitszeit sind. Die 50 € sind die variablen Kosten, da diese davon abhängig sind, wie lange der Handwerker tatsächlich arbeitet. Wir können nun also eine lineare Funktion ermitteln, die die Kosten abhängig von der Arbeitszeit angibt. Am Ende können wir dann für x die gearbeiteten Stunden einsetzen und bekommen die gesamtkosten heraus (y).
Herleiten der linearen Funktion
Für eine lineare Funktion brauchen wir die Steigung und den y-Achsenabschnitt.Y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt gibt in diesem Fall an, wieviel Geld der Handwerker bekommt wenn er 0 Stunden gearbeitet hat (x=0). Dieser Wert ist gleich 40 €, da er für die Anfahrt 40 € bekommt auch wenn er dann sofort wieder nach Hause fahren würde.Steigung
Die Steigung gibt in diesem Fall an, um wie viel die Kosten pro Stunde steigen. Es handelt sich also um den Preis den der Handwerker pro Stunde nimmt. Auch diesen haben wir gegeben, er nimmt 50 € pro Stunde.Unsere lineare Funktion lautet also:
Gesamtkosten = Stundenlohn • gearbeitete Stunden + Anfahrtskosten
f(x) = 50 • x + 40
Wenn wir diese Funktion zeichnen sieht sie folgendermaßen aus:
Mithilfe dieser Funktion können wir jetzt ganz bestimmen wieviel Geld der Handwerker für eine bestimmte Stundenanzahl erhält. Wir können die Lösung dabei grafisch ablesen oder sie mit der Funktionsvorschrift ausrechnen. Wenn wir die Lösung ganz genau wissen wollen, ist es besser den rechnerischen Weg zu gehen, da wir sie vom Grafen nur ungefähr ablesen können. Dafür setzen wir einfach die gearbeiteten Stunden für x ein und rechnen anschließend y aus.
Beispiel 2
Nach dem Regen ist eine Wassertonne mit 200 Litern gefüllt. Jeden Tag werden 40 Liter entnommen. Wie lange dauert es, bis die Wassertonne leer ist?Herleitung der linearen Funktion
Y-Achsenabschnitt
In diesem Fall haben wir einen y-Achsenabschnitt von 200 Litern. Dieser Wert entspricht der Wassermenge zum Zeitpunkt t=0, also am Anfang der Betrachtung. a ist also gleich 200 Liter.Steigung
Es ist angegeben, dass der Tonnen 40 Litern pro Tag entnommen werden. Es handelt sich hierbei also um die Steigung. Da der Tonne aber 40 Liter entnommen werden, handelt es sich um eine negative Steigung. Das Wasser wird also von Tag zu Tag weniger. b ist also gleich -40 Liter pro Tag.Unsere lineare Funktion lautet also:
Wassermenge = Wasserveränderung (pro Tag) • Anzahl Tage + Anfangsmenge
Damit ist die Aufgabe allerdings noch nicht gelöst. Da die Frage ist, wie viele Tage es dauert, bis die Tonne leer ist, müssen wir noch ausrechnen wie viele Tage vergehen ehe der Funktionswert 0 ist. Zu diesem Zweck setzen wir die Funktion gleich 0 und formen sie zu x um:
Die Wassertonne ist also nach 5 Tagen leer.
Hier noch einmal die grafische Darstellung dieser linearen Funktion:
