MAßSTAB UND UMFANG

TERME AUFSTELLEN UND INTERPRETIEREN

EXTREMWERTPROBLEME

 Anwendungsaufgabe Wirtschaftextremwerte

 

 Lösung:

 

PROZENTRECHNUNGEN( wichtiger Begriffe)

Der Begriff „Prozent“ kommt aus dem Lateinischen (pro centum) und heißt wörtlich übersetzt „von Hundert” oder etwas freier: „Hundertstel“. In der Prozentrechnung geht es also um das Rechnen mit Hundertsteln - aber wie schreibt man das korrekt auf?

Das Symbol $\%$

(Prozent) ist eine abkürzende Schreibweise
für einen Bruch mit dem Nenner 100.

$$p\%=\frac{p}{100}$$

Prozentzahlen sind eine Darstellungsmethode für Bruchzahlen. Prozentzahlen zeigen immer einen relativen Vergleich zu einem Ganzen. Da Prozent nichts anderes bedeutet als „ein Hundertstel”, sind hundert Prozent (100 %) ein Ganzes. Und genau zu diesem Ganzen, also zu den 100 % vergleicht man. Zum Beispiel gibt man bei Lebensmitteln Nährwerte für eine Menge wie 100 g oder 100 ml an. Joghurt mit einem Fettgehalt von 1,5 % bedeutet, dass in 100 g Joghurt 1,5 g Fett enthalten sind. Wichtig ist, es handelt sich hierbei um eine relative Angabe, das heißt mehr Joghurt hat mehr Fett und weniger eben weniger. Wenn man nun einen großen Becher mit 500 g isst, so sind es schon 7,5 g Fett.

Wichtig ist zu erkennen, ob es sich um eine absolute oder um eine relative Größe handelt. Wenn wir bei unserem Beispiel sagen, der Joghurt hat 7,5 g Fett, dann ist das eine absolute Angabe, die uns nur hilft, wenn wir die Gesamtmenge kennen. Bei der relativen Angabe, also in Prozent, wird die Menge im Vergleich zu einem Ganzen genannt. Als Formelzeichen verwendet man den Buchstaben p.

Prozentangaben lassen sich durch Brüche, sowie Dezimalzahlen darstellen und umgekehrt

Beispiel

„$\frac{16}{\mathrm{/100}}$

der Bevölkerung Deutschlands sind unter 18 Jahre alt.“
„$16\%$

der Bevölkerung Deutschlands sind unter 18 Jahre alt.“

$p\%$
bezeichnet man als Prozentsatz. $p$ heißt Prozentzahl.

Beispiel

Prozentsatz: $16\%$

$\Rightarrow$ Prozentzahl: $16$

Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz

Du weißt bereits, dass sich Prozentzahlen im Alltag meistens auf einen Grundwert beziehen. Solche Begriffe sind wichtig, um über Prozentrechnung reden zu können. Deshalb werden nun die wichtigsten Begriffe mit einem Beispiel eingeführt:

Ein Eichhörnchen vergräbt 500 Nüsse,

500 Nüsse sind hier der Grundwert G.

von denen es im Winter 400 Nüsse wiederfindet.

400 Nüsse sind hier der Prozentwert W.

Das sind 80% der vergrabenen Nüsse.

80% sind hier der Prozentsatz p.

Der Grundwert G ist die Bezugsgröße (hier 500 Nüsse) für Prozentwert und Prozentsatz. Er entspricht 100%.
Der Prozentwert W hat die gleiche Einheit wie der Grundwert (hier also Nüsse). Der Prozentwert kann kleiner oder auch größer als der Grundwert sein.
Der Prozentsatz p ist das Verhältnis zwischen Prozentwert und Grundwert. Er wird in Prozent angegeben.

Zusammenhang zwischen Prozentwert und Prozentsatz

Wie Prozentwert und Prozentsatz zusammenhängen, kannst du an folgendem Beispiel nachvollziehen:

Die Anzahl der Blätter an der alten Eiche am Stadtrand ändert sich über die Jahreszeiten. Im Frühjahr trägt sie 40 000 Blätter.
Um die Blätterzahlen über die Jahreszeiten hinweg vergleichen zu können, kannst du die Anzahl im Frühjahr als Grundwert G festlegen, der dann den Vergleichswert bildet.
Nun besitzt der Baum zu Beginn des Sommers zunächst 48 000 Blätter (das entspricht 65

, also 120%, der 40000 Blätter) und erreicht später mit 60 000 (32, also 150%) Blättern seine volle Krone. Im Herbst schrumpft diese Zahl auf 24 000 (35, also 60%) und später noch weiter auf 4 000 (110

, also 10%).
Diese Zahlen können dann als Prozentwerte W (bzw. Prozentsätze p) festgelegt werden.
In der folgenden Tabelle hast du eine Übersicht über die Werte und kannst den besonderen Zusammenhang zwischen W und p erkennen:

Prozentwert W

	Prozentsatz p

	Quotient Wp

4 000	10%	40 000
24 000	60%	40 000
48 000	120%	40 000
60 000	150%	40 000

Wenn du W durch p oder umgekehrt teilst, erhältst du immer denselben Wert, nämlich den Grundwert oder dessen Kehrwert. In einem Koordinatensystem erkennst du dann eine Ursprungsgerade. Wie du schon weißt, bedeutet das, dass ein Vielfaches von W demselben Vielfachen von p entspricht.
Mathematisch wird das wie folgt ausgedrückt:

Der Prozentwert W und der Prozentsatz p sind direkt proportional zueinander

VIERFELDERTAFEL (BEISPIEL)

KURVENDISKUSSION ZUSAMMENFASSUNG