PROZENTRECHNUNGEN ( AUFGABEN )

Einfache Prozentsätze:

100 % = 1 (Ganzes)50 % = 0,5 (= 1/2) 75 % = 0,75 (= 3/4) 33,33... % = 0,3333... (= 1/3) 25 % = 0,25 (= 1/4) 20 % = 0,2 = (= 1/5)

231 % = 2,31 116,5 % = 1,165 88,6 % = 0,886 12,45 % = 0,1245 2,5 % = 0,025 0,56 % = 0,0056

1,85 = 185 % 1 (Ganzes) = 100 % 0,98 = 98 % 0,752 = 75,2 % 0,031 = 3,1 % 0,007 = 0,7 %

 

Prozentsatz berechnen (1/2)

Du hast nun den Prozentsatz und seinen Zusammenhang zum Prozentwert kennengelernt.
Da der Prozentwert direkt proportional zum Prozentsatz ist, verhält sich der Prozentwert zum Prozentsatz genauso wie der Grundwert zu 100%. Über einen Dreisatz kannst du den Prozentsatz somit berechnen.

Beispiel 1

Bei der Klassensprecherwahl bekommt Elisabeth 10 Stimmen. Insgesamt wurden 25 Stimmen abgegeben. Wieviel Prozent der Stimmen erhält Elisabeth?

25 Stimmen sind der Grundwert.
Zurückrechnen auf eine Stimme.
Hochrechnen auf 10 Stimmen.
Nun kann man den Prozentsatz ablesen.

Beispielaufgaben

Berechne den Prozentsatz mittels Dreisatz!

40 € von 120 € ?

 

Gegeben:   Prozentwert: 40 € , Grundwert: 120 € Gesucht: Prozentsatz Stelle das Verhältnis auf. Rechne zurück auf 1 € . Erweitere auf 40 € . Nun kannst du den Prozentsatz 33,3¯¯¯% ablesen.

Genauso wie den Prozentsatz kannst du den Prozentwert über den Dreisatz berechnen. Berechnung über Dreisatz Im Supermarkt gibt es 1,5 Liter Packungen Apfelnektar mit einem Fruchtgehalt von 27%. Wie viel Liter Frucht sind dies? 1,5 Liter sind der Grundwert. Zurückrechnen auf 1% Hochrechnen auf 27% Nun kann man den Prozentwert ablesen. Zur Übung: Berechne den Prozentwert. Wie viel sind ... 13% von 50 € ?

Gegeben: Grundwert G=50€ , Prozentsatz p=13% Gesucht: Prozentwert Stelle das Verhältnis auf. Rechne zurück auf 1 %. Erweitere auf 13 %. Nun kann man den Prozentwert ablesen. Grundwert berechnen (1/2) Den Grundwert kannst du mit den selben Mitteln berechnen wie den Prozentsatz und den Prozentwert. Berechnung über Dreisatz Die Polizei kontrolliert Fahrräder. 128 Fahrräder haben kein Licht, das sind 16%. Wieviele Fahrräder wurden kontrolliert? Gegeben sind die Anzahl der beanstandeten Fahrräder, also der Prozentwert, und der Prozentsatz. Zurückrechnen auf 1% Hochrechnen auf 100% Nun kann man den Grundwert unten rechts ablesen. Antwort: Es wurden 800 Fahrräder kontrolliert

LINEARES UND EXPONENTIELLES WACHSTUM

Lineares Wachstum:

Lineares Wachstum zeichnet sich dadurch aus, dass es gleichmäßig wächst oder fällt.

Die allgemeine Formel lautet y = mx+b(gerade Gleichung). Dabei ist b der Startwert und m die Steigung oder Wachstumsrate um die der Funktionswert immer kleiner oder größer wird.

Beispiel:

Jedes Jahr bekommt Fritz 5 Euro mehr Taschengeld. Im Moment bekommt er 20 €. Stelle hierzu die Wachstumsformel auf!

Da es sich um einen gleichmäßigen Anstieg handelt, jedes Jahr 5 € mehr, liegt hier ein lineares Wachstum vor: Dabei ist 20€ der Startwert.

Also: y= 5x+ 20

Beispiele für lineares Wachstum:

Wasser läuft gleichmäßig aus einem Becken

Eine Kerze brennt gleichmäßig ab.

Der Alkoholpegel sinkt gleichmäßig um 0,15‰ pro Stunde

Ein Baum wächst jedes Jahr gleichmäßig um 10 cm.

Die Wertetabelle bei linearen Wachstum:

x	0	1	2	3
y	5	7	9	11

Jeder y-Wert wird um genau 2 größer. Wir haben also einen gleichmäßigen Anstieg um die Wachstumsrate 2. Will man eine Tabelle auf lineares Wachstum prüfen, zieht man immer vom y Wert, der rechts danebenliegt den linken ab. Erhält man überall die gleiche Wachstumsrate ist das Wachstum linear:

7- 5 = 2    9-7=2    11-9 = 2   Es handelt sich um lineares Wachstum mit dem Anfangswert 5 und einer Wachstumsrate von 2.

Die Gleichung hierfür lautet also: y = 2x + 5 und der Graph sieht hierzu folgendermaßen aus:

Dabei schneidet der Graph die y- Achse bei 5 (= der Anfangswert) und hat eine Steigung von 2, also bedeutet: Eine Einheit nach rechts und 2 Einheiten nach oben vom Startwert aus gesehen.

Anhand des Graphen oder mit Hilfe der Formel kann man nun 3 unterschiedliche Dinge ermitteln.

 Exponentielles Wachstum  :

In den Naturwissenschaften (Physik, Chemie, Biologie) und in vielen anderen Bereichen (Bankgewerbe, Medizin, ...) wird das Verhalten von Größen untersucht, die sich mit der Zeit t ändern. Beispiele dafür sind:

• Verzinsung eines Kapitals;
• Abnahme der unzerfallenen Atome beim radioaktiven Zerfall;
• Wachstum eines Holzbestandes, einer Bakterienkultur, einer Population, ...
• Verhalten der Stromstärke beim Ein- und Ausschalten eines Gleichstroms in einem Stromkreis mit Widerstand und Kapazität oder Induktivität.

Beispiel: Eine Tanne wächst jedes Jahr um 12 cm. Herr Müller pflanzt eine 90cm hohe Tanne. Das bedeutet in 5 Jahren ist die Tanne 150cm hoch. Bei linearem Wachstum ergeben sich nun 4 Aufgabentypen

Die Suche nach y: Frage: Wie hoch ist die Tanne in 5 Jahren: Lösung: Aufstellen des Funktionsterms: 12cm/pro Jahr ist die Wachstumsrate, 90 cm ist der Startwert. y = 12x + 90             Für x = 5 Jahre ergibt sich: y = 12 ž 5 + 90 = 150. Antwort: In 5 Jahren ist die Tanne 1,50 m hoch.

Die Suche nach der Wachstumsrate: Frage: Wie schnell wächst die Tanne? Lösung: 150 = m  ž 5 + 90  | -90 60 = m  ž 5 | : 5 12 = m Antwort: Die Tanne wächst pro Zeiteinheit um 12 cm.

Die Suche nach dem  Startwert: Frage: Eine Tanne wächst pro Jahr um 12 cm. Nach 5 Jahren ist sie 150 cm hoch. Wie groß war sie am Anfang? Lösung: 150 = 12 ž 5 + b  150 = 60 + b | - 60 90 = b Antwort: Die Tanne war am Anfang 90 cm hoch.

Die Suche nach x. Frage: Wie lange dauert es, bis eine 90 cm Tanne 150 cm hoch ist? Lösung: 150 = 12 ž x + 90 | - 90 60   = 12 ž x | : 12     5 = x Antwort:Es dauert 5 Jahre

Exponentielles Wachstum: Exponentielles Wachstum zeichnet sich dadurch aus, dass es immer schneller oder langsamer wächst oder fällt. Die allgemeine Formel lautet y = b . ax. Dabei ist b der Startwert und a der Wachstumsfaktor, der angibt um wie viel y pro Zeiteinheit fällt oder steigt und x die Anzahl der Zeiteinheiten. Beispiel: Jedes Jahr bekommt Fritz 5 Euro doppelt so viel Taschengeld wie im Vorjahr. Im Moment bekommt er 20 €. Stelle hierzu die Wachstumsformel auf! Das Taschengeld steigt immer schneller, also handelt es sich um exponentielles Wachstum. Dabei ist 20€ der Startwert und in dem Wort „Doppelt“ steckt der Wachstumsfaktor 2. Also: y = 20 . 2x Beispiele für exponentielles Wachstum: Ein Auto wird beim Beschleunigen immer schneller. Eine Population vermehrt sich immer schneller. Irgendetwas wächst oder fällt um den Faktor 3 Jedes Jahr bekommt man auf dem Konto 3 % Zinsen  Die Wertetabelle bei exponentiellen Wachsum   x 0 1 2 3 y 5 10 20 40 Jeder y-Wert wird um genau das Doppelte größer. Wir haben also einen Anstieg um den Wachstumsfaktor 2.  Will man eine Tabelle auf exponentielles Wachstum prüfen, teilt man immer den y Wert, der rechts danebenliegt durch den linken. Erhält man überall den gleichen Wachstumsfaktor so ist das Wachstum exponentiell. 10 : 5 = 2      20 : 10 = 2         40 : 20 = 2  Es handelt sich um exponentielles  Wachstum mit dem Anfangswert 5 und einem Wachstumsfaktor von 2. Die Gleichung hierfür lautet also: y = 5 . 2x

f(x) = a · b^x

Interpretationen

• a: Startwert
• b: Zuwachsrate (100% + Rate in %)
• x: hier die abgelaufenen Zeit
• f(x): Funktionswert zum Zeitpunpunkt

Im Formel kann man verschiedene Buschtaben benutzen

 

  

   

Wenn wir das Thema wieder zusammenfassen;

Zwischen linearem und exponentiellem Wachstum gibt es einige interessante Unterschiede:

⇒
⇒

	Lineares Wachstum	Exponentielles Wachstum
Charakteristikum	Konstante Zunahme	Konstante prozentuale Zunahme
Beschreibung durch	Lineare Funktionen	Exponentialfunktionen
Graph	Steigende Gerade	Steigende Exponentialkurve
Rekursive Darstellung	B(t+1)=B(t)+m
	B(t+1)=B(t)⋅q
Explizite Darstellung	B(t)=m⋅t+b
	B(t)=B(0)⋅qt
Änderungsrate (Wachstumsrate)	ΔB(t)=m
konstant	ΔB(t)=B(t)⋅(q−1)
proportional zum aktuellen Bestand
	...mit m>0
	...mit q>1
Beispiele	- Geld sparen (ohne Zinsen) - Auffüllen von Gefäßen	- Zinseszinsrechnung - Wachstum von Populationen

GRENZVERHALTEN WICHTIGER FUNKTIONSTYPEN

Potenzfunktionen im Unendlichen  f(x)= 

Grenzwert im positiven Unendlichen:

falls Exponent n geradzahlig und a positiv:           

falls Exponent n geradzahlig und a negativ:

falls Exponent n nicht geradzahlig und a positiv:

falls Exponent n nicht geradzahlig und a negativ          

Grenzwert im negativen Unendlichen

falls Exponent n geradzahlig und a positiv:               

falls Exponent n geradzahlig und a negativ:         

falls Exponent n nicht geradzahlig und a positiv:         

falls Exponent n nicht geradzahlig und a negativ:     

e-Funktionen im Unendlichen

f(x)=e^x

Besonderheiten: Die Variable x steht im Exponenten, in der Basis (unten) steht eine Zahl.

Die Ableitung bleibt gleich (im Gegensatz zu anderen

Exponentialfunktionen wie 2^x ,3^x ,...  ).

Die e-Funktion steigt schneller als alle Potenzfunktionen (also als z.B. , ,... x²,x³ ).

Die e-Funktion ist immer positiv,

sie ist niemals 0 oder negativ

Der Graph geht durch den Punkt P(0|1).

Er verläuft für x gegen Unendlich über alle Grenzen und für x gegen minus Unendlich gegen Null. 
Die x-Achse ist Asymptote.
Er ist echt monoton steigend. Ein zweiter, markanter Punkt ist Q(1|e).

Verhalten im Unendlichen:



Ln - Funktion im Unendlichen



Die e-Funktion ist - wie jede Exponentialfunktion - streng monoton wachsend auf, d.h. sie ist umkehrbar. Die Gleichung

wird mit dem Logarithmus von y zur Basis e nach x aufgelöst   Man nennt x den natürlichen Logarithmus von y

  e^x schneller als  x^n und x^n schneller als lnx gegen  +∞ strebt, wenn x→+∞

 e^x schneller gegen 0 strebt als 1/x^n  , wenn  x→-∞

 

Gebrochenrationale Funktion im Unendlich



Eine Funktion f, deren Funktionsterm ein Quotient zweier Polynome ist, heißt gebrochenrationale Funktion 

f(x) =

g(x)     h(x)

 

Bestimmung der Asymptote:

Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, so ist die x-Achse Asymptote: a(x) = 0. (Eine Polynomdivision ist dann nicht nötig!)

Ist der Zählergrad gleich oder größer als der Nennergrad, wird die Gleichung der Asymptote durch Polynomdivision ermittel

ZG (Zählergrad) < NG (Nennergrad)    waagrechte Asymptote bei y=0

ZG (Zählergrad) = NG (Nennergrad)

waagrechte Asymptote

ZG (Zählergrad) = NG + 1 (Nennergrad)

schiefe Asymptote (Gerade)

ZG (Zählergrad) > NG + 1 (Nennergrad)

kurvenförmige Asymptote

Anmerkungen

• Natürlich können die Funktionen auch noch Pollstellen haben, die aber in der schematischen Skizze nicht eingezeichnet sind.
• Im Fall ZG > NG  lässt sich der Funktionsterm der Asymptote mithilfe von Polynomdivision bestimmen.
• Senkrechte Asymptoten können bei Nullstellen des Nenners auftreten. Die Vielheit der Nullstellen bestimmt hierbei ggf., ob ein Vorzeichenwechsel auftritt.

Vielfachheit der Nullstelle x 0   :

ungerade: ⇒  senkrechte Asymptote bei x 0   mit Vorzeichenwechsel.
gerade :⇒  senkrechte Asymptote bei x 0   ohne Vorzeichenwechsel
Um das Vorzeichen zu erhalten betrachtet man den links- und rechtseitigengrenzwert


 
Untersucht man ganzrationale Funktionen für beliebige große bzw. kleine x-Werte, so werden auch die Funktionswerte beliebig groß oder klein:

Wir unterscheiden folgende vier Fälle

z < n

Da das Nennerpolynom für große X-Werte schneller wächst als das Zählerpolynoms, nähert sich die Funktion für x ± an die X-Achse an. Man sagt auch die X-Achse ist waagrechte Asymptote der Funktion .Ein Beispiel:


In der Rechnung schreibt man das so:

f(x) =      x2 + 4     x3 – x2 – 3       =      0

Das Zeichen "" spricht man "Limes von x gegen Unendlich".

 

z = n

Zähler und Nenner wachsen für große X-Werte etwa gleich schnell, womit der Bruch sich einem konstantem Wert nähert. Die Funktion hat also eine waagrechte Asymptote, eine Parallele zur X-Achse. Durch Polynomdivision können wir berechnen, an welchem Y-Wert entlang die Asymptote verläuft:

 

f(x) =

x2 – 1     4x2 – x

=

=

1     4

–

1 + 0,25x     4x2 – x

=

(Der zweite Bruch ist eine Funktion mit z < n und wird damit zu 0!)

=

1     4

=

0,25

Die Asymptote ist also eine Parallele zur X-Achse bei y = 0,25:


Noch einfacher läßt sich dieser Wert (0,25) berechnen, indem man einfach den Koeffizienten des höchsten Glieds im Zähler durch den Koeffizienten des höchsten Glieds im Nenner teilt:

f(x) =

1x2 – 1     4x2 – x

=

1     4

=

0,25

z = n + 1

Da der Zähler für große Werte "um ein x" schneller wächst als der Zähler, nähert sich der Bruch einer Geraden der Form a(x) = mx + t an. Die Asymptote der Funktion ist also eine Gerade. Durch Polynomdivision können wir die Geradengleichung der Asymptote bestimmen:

 

f(x) =

x3 + x2     –2x2 + 10

=  –

1     2

x –

1     2

+

5x + 5     –2x2 + 10

;

Wir erkennen das letzte Glied des Termes, das für unendlich große x zu Null wird:

–

1     2

x –

1     2

+

5x + 5     –2x2 + 10

=

1     2

x –

1     2

=

–0,5x – 0,5

Die Geradengleichung der Asymptoten ist also a(x) = -0,5x - 0,5.

 

.

z > n + 1

Analog nähert sich eine solche Funktion für große X-Werte einem Polynom vom Grade z-n an: Durch Polynomdivision können wir die Funktionsgleichung dieses "Grenzpolynoms" bestimmen:

f(x) =

x3 + 2x2 – 2     x + 1

=  x2 + x – 1 –

1     x + 1

;

Wir erkennen das Glied des Termes, das für unendlich große x zu Null wird:

x2 + x – 1 –

1     x + 1

=

x2 + x – 1

Die Gleichung des Polynoms lautet also p(x) = x² + x - 1