POLYNOMFUNKTIONEN ( 3. GRAD )

Die Funktionsgleichung lautet : x³+x²+x
 Am ende der Gleichung haben wir keine Zahl ohne Variable. Das bedeutet ; die Funktion verläuft durch den Ursprungspunkt, keine y-Achse Schnittpunkt

Die Funktion ist : x³+x+1            Dieses Mal haben wir am Ende der Gleichung 1 ( ohne Variable) Diese 1 ist y-Achse schnittpunt. Die Funktion verläuft durch diesen Punkt.

Die Funktion verläuft durch 1 ( y- Achse Schnittpunkt)

Die Funktionsgleichung hat keine Zahl ( verläuft durch  im Ursprung

spunkt)





 

Wir sehen nun alle Grapfen  , die vorher gezeichnet haben 

Aussagen mit spezieller Gültigkeit für Polynomfunktionen

· Eine Polynomfunktion n-Grades hat maximal n reelle Nullstellen.

· Diese Anzahl kann sich jeweils um Vielfache von 2 verringern (komplexe Lösungen).

· Polynomfunktionen von ungeradem Grad haben somit immer mindestens eine reelle

Nullstelle.





· Eine Polynomfunktion n-Grades kann maximal n-1 Extremwerte aufweisen

[Schnellbestimmung des Grades durch Zählen der Extremwerte].

· Zwischen zwei Nullstellen muß mindestens ein Extremwert liegen.

· Eine Polynomfunktion n-Grades kann maximal n-2 Wendepunkte aufweisen.

Was ist eigentlich ein Polynom ?

Ein Polynom ist eine Summe von Potenzfunktionen.

Der höchste Exponent, der vorkommt, heißt Grad des Polynoms.

• Polynome 1. Grades sind die Geraden

• Polynome 2. Grades sind die Parabeln

• Polynome 3. Grades haben immer eine symmetrische s-Form.

• Polynome 4. Grades haben höchstens 3 Extrema.

• Je höher der Grad, desto vielfältigere Formen sind möglich

Polynome und ihre Linearfaktoren

Jede reelle Nullstelle a

erzeugt einen Linearfaktor.(x - a)

f (x) = (x-a) q(x)

Wenn das Restpolynom auch noch die Nullstelle a

enthält, kann man den Linearfaktor mehrfach „herausziehen“.

f(x)=(x-k)^k.p(x)  mit p(x) ist nicht  gleich 0

 

Geht das maximal k-mal, dann heißt k-fache Nullstelle,



oder „Nullstelle der Vielfachheit k“

In der Nähe eine k fachen-Nullstelle verhält sich das Polynom

wie sich die k-Potenzfunktion im Ursprung verhält. Unsere Bsp lautet:x³+x²+x+1

wir versuchen dieses Polynom um Linearfaktor zu zerlegen

(x²+1).(x+1)   x+1=0 x=-1 nur eine Nullstelle
 Potenz 3 (ungerade),Vorzeichen plus,

Das ist allgemeine Zeichnung:
 

 Beispiel: