GRENZVERHALTEN WICHTIGER FUNKTIONSTYPEN

Potenzfunktionen im Unendlichen  f(x)= 

Grenzwert im positiven Unendlichen:

falls Exponent n geradzahlig und a positiv:           

falls Exponent n geradzahlig und a negativ:

falls Exponent n nicht geradzahlig und a positiv:

falls Exponent n nicht geradzahlig und a negativ          

Grenzwert im negativen Unendlichen

falls Exponent n geradzahlig und a positiv:               

falls Exponent n geradzahlig und a negativ:         

falls Exponent n nicht geradzahlig und a positiv:         

falls Exponent n nicht geradzahlig und a negativ:     

e-Funktionen im Unendlichen

f(x)=e^x

Besonderheiten: Die Variable x steht im Exponenten, in der Basis (unten) steht eine Zahl.

Die Ableitung bleibt gleich (im Gegensatz zu anderen

Exponentialfunktionen wie 2^x ,3^x ,...  ).

Die e-Funktion steigt schneller als alle Potenzfunktionen (also als z.B. , ,... x²,x³ ).

Die e-Funktion ist immer positiv,

sie ist niemals 0 oder negativ

Der Graph geht durch den Punkt P(0|1).

Er verläuft für x gegen Unendlich über alle Grenzen und für x gegen minus Unendlich gegen Null. 
Die x-Achse ist Asymptote.
Er ist echt monoton steigend. Ein zweiter, markanter Punkt ist Q(1|e).

Verhalten im Unendlichen:



Ln - Funktion im Unendlichen



Die e-Funktion ist - wie jede Exponentialfunktion - streng monoton wachsend auf, d.h. sie ist umkehrbar. Die Gleichung

wird mit dem Logarithmus von y zur Basis e nach x aufgelöst   Man nennt x den natürlichen Logarithmus von y

  e^x schneller als  x^n und x^n schneller als lnx gegen  +∞ strebt, wenn x→+∞

 e^x schneller gegen 0 strebt als 1/x^n  , wenn  x→-∞

 

Gebrochenrationale Funktion im Unendlich



Eine Funktion f, deren Funktionsterm ein Quotient zweier Polynome ist, heißt gebrochenrationale Funktion 

f(x) =

g(x)     h(x)

 

Bestimmung der Asymptote:

Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, so ist die x-Achse Asymptote: a(x) = 0. (Eine Polynomdivision ist dann nicht nötig!)

Ist der Zählergrad gleich oder größer als der Nennergrad, wird die Gleichung der Asymptote durch Polynomdivision ermittel

ZG (Zählergrad) < NG (Nennergrad)    waagrechte Asymptote bei y=0

ZG (Zählergrad) = NG (Nennergrad)

waagrechte Asymptote

ZG (Zählergrad) = NG + 1 (Nennergrad)

schiefe Asymptote (Gerade)

ZG (Zählergrad) > NG + 1 (Nennergrad)

kurvenförmige Asymptote

Anmerkungen

• Natürlich können die Funktionen auch noch Pollstellen haben, die aber in der schematischen Skizze nicht eingezeichnet sind.
• Im Fall ZG > NG  lässt sich der Funktionsterm der Asymptote mithilfe von Polynomdivision bestimmen.
• Senkrechte Asymptoten können bei Nullstellen des Nenners auftreten. Die Vielheit der Nullstellen bestimmt hierbei ggf., ob ein Vorzeichenwechsel auftritt.

Vielfachheit der Nullstelle x 0   :

ungerade: ⇒  senkrechte Asymptote bei x 0   mit Vorzeichenwechsel.
gerade :⇒  senkrechte Asymptote bei x 0   ohne Vorzeichenwechsel
Um das Vorzeichen zu erhalten betrachtet man den links- und rechtseitigengrenzwert


 
Untersucht man ganzrationale Funktionen für beliebige große bzw. kleine x-Werte, so werden auch die Funktionswerte beliebig groß oder klein:

Wir unterscheiden folgende vier Fälle

z < n

Da das Nennerpolynom für große X-Werte schneller wächst als das Zählerpolynoms, nähert sich die Funktion für x ± an die X-Achse an. Man sagt auch die X-Achse ist waagrechte Asymptote der Funktion .Ein Beispiel:


In der Rechnung schreibt man das so:

f(x) =      x2 + 4     x3 – x2 – 3       =      0

Das Zeichen "" spricht man "Limes von x gegen Unendlich".

 

z = n

Zähler und Nenner wachsen für große X-Werte etwa gleich schnell, womit der Bruch sich einem konstantem Wert nähert. Die Funktion hat also eine waagrechte Asymptote, eine Parallele zur X-Achse. Durch Polynomdivision können wir berechnen, an welchem Y-Wert entlang die Asymptote verläuft:

 

f(x) =

x2 – 1     4x2 – x

=

=

1     4

–

1 + 0,25x     4x2 – x

=

(Der zweite Bruch ist eine Funktion mit z < n und wird damit zu 0!)

=

1     4

=

0,25

Die Asymptote ist also eine Parallele zur X-Achse bei y = 0,25:


Noch einfacher läßt sich dieser Wert (0,25) berechnen, indem man einfach den Koeffizienten des höchsten Glieds im Zähler durch den Koeffizienten des höchsten Glieds im Nenner teilt:

f(x) =

1x2 – 1     4x2 – x

=

1     4

=

0,25

z = n + 1

Da der Zähler für große Werte "um ein x" schneller wächst als der Zähler, nähert sich der Bruch einer Geraden der Form a(x) = mx + t an. Die Asymptote der Funktion ist also eine Gerade. Durch Polynomdivision können wir die Geradengleichung der Asymptote bestimmen:

 

f(x) =

x3 + x2     –2x2 + 10

=  –

1     2

x –

1     2

+

5x + 5     –2x2 + 10

;

Wir erkennen das letzte Glied des Termes, das für unendlich große x zu Null wird:

–

1     2

x –

1     2

+

5x + 5     –2x2 + 10

=

1     2

x –

1     2

=

–0,5x – 0,5

Die Geradengleichung der Asymptoten ist also a(x) = -0,5x - 0,5.

 

.

z > n + 1

Analog nähert sich eine solche Funktion für große X-Werte einem Polynom vom Grade z-n an: Durch Polynomdivision können wir die Funktionsgleichung dieses "Grenzpolynoms" bestimmen:

f(x) =

x3 + 2x2 – 2     x + 1

=  x2 + x – 1 –

1     x + 1

;

Wir erkennen das Glied des Termes, das für unendlich große x zu Null wird:

x2 + x – 1 –

1     x + 1

=

x2 + x – 1

Die Gleichung des Polynoms lautet also p(x) = x² + x - 1