Lineares Wachstum:
Lineares Wachstum zeichnet sich dadurch aus, dass es gleichmäßig wächst oder fällt.
Die allgemeine Formel lautet y = mx+b(gerade Gleichung). Dabei ist b der Startwert und m die Steigung oder Wachstumsrate um die der Funktionswert immer kleiner oder größer wird.
Beispiel:
Jedes Jahr bekommt Fritz 5 Euro mehr Taschengeld. Im Moment bekommt er 20 €. Stelle hierzu die Wachstumsformel auf!
Da es sich um einen gleichmäßigen Anstieg handelt, jedes Jahr 5 € mehr, liegt hier ein lineares Wachstum vor: Dabei ist 20€ der Startwert.
Also: y= 5x+ 20
Beispiele für lineares Wachstum:
Wasser läuft gleichmäßig aus einem Becken
Eine Kerze brennt gleichmäßig ab.
Der Alkoholpegel sinkt gleichmäßig um 0,15‰ pro Stunde
Ein Baum wächst jedes Jahr gleichmäßig um 10 cm.
Die Wertetabelle bei linearen Wachstum:
Jeder y-Wert wird um genau 2 größer. Wir haben also einen gleichmäßigen Anstieg um die Wachstumsrate 2. Will man eine Tabelle auf lineares Wachstum prüfen, zieht man immer vom y Wert, der rechts danebenliegt den linken ab. Erhält man überall die gleiche Wachstumsrate ist das Wachstum linear:
7- 5 = 2 9-7=2 11-9 = 2 Es handelt sich um lineares Wachstum mit dem Anfangswert 5 und einer Wachstumsrate von 2.
Die Gleichung hierfür lautet also: y = 2x + 5 und der Graph sieht hierzu folgendermaßen aus:
Dabei schneidet der Graph die y- Achse bei 5 (= der Anfangswert) und hat eine Steigung von 2, also bedeutet: Eine Einheit nach rechts und 2 Einheiten nach oben vom Startwert aus gesehen.
Anhand des Graphen oder mit Hilfe der Formel kann man nun 3 unterschiedliche Dinge ermitteln.
Exponentielles Wachstum :
In den Naturwissenschaften (Physik, Chemie, Biologie) und in vielen anderen Bereichen (Bankgewerbe, Medizin, ...) wird das Verhalten von Größen untersucht, die sich mit der Zeit t ändern. Beispiele dafür sind:
- Verzinsung eines Kapitals;
- Abnahme der unzerfallenen Atome beim radioaktiven Zerfall;
- Wachstum eines Holzbestandes, einer Bakterienkultur, einer Population, ...
- Verhalten der Stromstärke beim Ein- und Ausschalten eines Gleichstroms in einem Stromkreis mit Widerstand und Kapazität oder Induktivität.
Beispiel: Eine Tanne wächst jedes Jahr um 12 cm. Herr Müller pflanzt eine 90cm hohe Tanne. Das bedeutet in 5 Jahren ist die Tanne 150cm hoch. Bei linearem Wachstum ergeben sich nun 4 Aufgabentypen
Die Suche nach y:
Frage: Wie hoch ist die Tanne in 5 Jahren:
Lösung:
Aufstellen des Funktionsterms: 12cm/pro Jahr ist die Wachstumsrate, 90 cm ist der Startwert.
y = 12x + 90
Für x = 5 Jahre ergibt sich:
y = 12 ž 5 + 90 = 150.
Antwort: In 5 Jahren ist die Tanne 1,50 m hoch.
|
Die Suche nach der Wachstumsrate:
Frage: Wie schnell wächst die Tanne?
Lösung:
150 = m ž 5 + 90 | -90
60 = m ž 5 | : 5
12 = m
Antwort: Die Tanne wächst pro Zeiteinheit um 12 cm.
|
Die Suche nach dem Startwert:
Frage: Eine Tanne wächst pro Jahr um 12 cm. Nach 5 Jahren ist sie 150 cm hoch. Wie groß war sie am Anfang?
Lösung:
150 = 12 ž 5 + b
150 = 60 + b | - 60
90 = b
Antwort: Die Tanne war am Anfang 90 cm hoch.
|
Die Suche nach x.
Frage: Wie lange dauert es, bis eine 90 cm Tanne 150 cm hoch ist?
Lösung:
150 = 12 ž x + 90 | - 90
60 = 12 ž x | : 12
5 = x
Antwort:Es dauert
5 Jahre
|
Exponentielles Wachstum:
Exponentielles Wachstum zeichnet sich dadurch aus, dass es immer schneller oder langsamer wächst oder fällt.
Die allgemeine Formel lautet y = b . ax. Dabei ist b der Startwert und a der Wachstumsfaktor, der angibt um wie viel y pro Zeiteinheit fällt oder steigt und x die Anzahl der Zeiteinheiten.
Beispiel:
Jedes Jahr bekommt Fritz 5 Euro doppelt so viel Taschengeld wie im Vorjahr. Im Moment bekommt er 20 €. Stelle hierzu die Wachstumsformel auf!
Das Taschengeld steigt immer schneller, also handelt es sich um exponentielles Wachstum. Dabei ist 20€ der Startwert und in dem Wort „Doppelt“ steckt der Wachstumsfaktor 2.
Also: y = 20 . 2x
Beispiele für exponentielles Wachstum:
Ein Auto wird beim Beschleunigen immer schneller.
Eine Population vermehrt sich immer schneller.
Irgendetwas wächst oder fällt um den Faktor 3
Jedes Jahr bekommt man auf dem Konto 3 % Zinsen
Die Wertetabelle bei exponentiellen Wachsum
Jeder y-Wert wird um genau das Doppelte größer. Wir haben also einen Anstieg um den Wachstumsfaktor 2. Will man eine Tabelle auf exponentielles Wachstum prüfen, teilt man immer den y Wert, der rechts danebenliegt durch den linken. Erhält man überall den gleichen Wachstumsfaktor so ist das Wachstum exponentiell.
10 : 5 = 2 20 : 10 = 2 40 : 20 = 2 Es handelt sich um exponentielles Wachstum mit dem Anfangswert 5 und einem Wachstumsfaktor von 2.
Die Gleichung hierfür lautet also: y = 5 . 2x
|
|
f(x) = a · bx
Interpretationen
- a: Startwert
- b: Zuwachsrate (100% + Rate in %)
- x: hier die abgelaufenen Zeit
- f(x): Funktionswert zum Zeitpunpunkt
Im Formel kann man verschiedene Buschtaben benutzen
Wenn wir das Thema wieder zusammenfassen;
Zwischen
linearem und
exponentiellem Wachstum gibt es einige interessante Unterschiede:
⇒
⇒
|
Lineares Wachstum |
Exponentielles Wachstum |
| Charakteristikum |
Konstante Zunahme |
Konstante prozentuale Zunahme |
| Beschreibung durch |
Lineare Funktionen |
Exponentialfunktionen |
| Graph |
Steigende Gerade |
Steigende Exponentialkurve |
| Rekursive Darstellung |
B(t+1)=B(t)+m |
|
B(t+1)=B(t)⋅q |
|
| Explizite Darstellung |
B(t)=m⋅t+b |
|
B(t)=B(0)⋅qt |
|
Änderungsrate
(Wachstumsrate) |
ΔB(t)=m |
| konstant |
ΔB(t)=B(t)⋅(q−1) |
| proportional zum aktuellen Bestand |
|
...mit m>0 |
|
...mit q>1 |
|
| Beispiele |
- Geld sparen (ohne Zinsen)
- Auffüllen von Gefäßen |
- Zinseszinsrechnung
- Wachstum von Populationen |
|
|
|
