27 Kasım 2015 Cuma

KREIS

Was ist ein Kreis?

...... Die Menge aller Punkte P, die von einem festen Punkt M die gleiche Entfernung r haben, bilden einen Kreis oder genauer eine 
Kreislinie mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r
Ein Kreis kann auch eine Kreisscheibe sein. 
Dann ist der Kreis die Menge aller Punkte der Kreislinie und der Punkte, die sie einschließt.


 
Begriffe am Kreis  Geraden am Kreis untersuchen
M Mittelpunkt, 
r Radius oder Halbmesser, 
d Durchmesser 
s Sehne



Es gibt drei verschiedene Möglichkeiten der Lagebeziehungen für eine Gerade und einen Kreis.
Geraden am Kreis untersuchen
  1. Sekante:
    Kreis und Gerade schneiden sich in genau zwei Punkten.
  2. Tangente:
    Kreis und Gerade berühren sich in genau einem Punkt.
  3. Passante:
    Kreis und Gerade schneiden oder berühren sich nicht

    Bedeutung der Namen: Sekante: lateinisch secare = schneiden
    Tangente: lateinisch tangere = berühren
    Passante: französisch oder italienisch passante = Vorbeigehende





































Anwendungsaufgaben mit Kreisen

 

 Kreisumfang

Wenn du bei einem beliebigen Kreis den Umfang (u)
durch den Durchmesser (d) teilst, erhältst du immer die Zahl π.
Es gilt also:
π=ud
Daraus erhälst du die Umfangsformel für den Kreis.
u=πd
oder wegen d=2r
u=2πr
Hinweis: Wenn du keinen Taschenrecher mit π
-Taste hast, rechne mit π3,14.

Kreisfläche

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A
eines Kreises mit dem Radius r lautet:
A=πr2
.
Ist nur der Durchmesser des Kreises bekannt, so musst du zunächst den Radius des Kreises berechnen, damit du die Flächenformel anwenden kannst.
r=d2

Berechnung des Radius

Der Umfang u
eines Kreises sei gegeben.
Demnach kannst du mit Hilfe der umgestellten Umfangsformel den Durchmesser d
berechnen.
d=uπ
Und mit r=d2
ergibt sich dann auch der Radius des Kreises.
Ist der Flächeninhalt eines Kreises gegeben, so berechnet man den Radius r
mit Hilfe der umgestellten Flächenformel.
A=πr2
Aπ=r2
Aπ=r
Der Durchmesser ergibt sich dann aus d=2r
.


Vom Umfang zum Flächeninhalt

Gegeben sei eine kreisförmige Pizza mit 128cm Umfang. Berechne den Flächeninhalt der Pizza.
1) Gegeben ist der Umfang der Pizza, und gesucht ist der Flächeninhalt.
2) Benötigte Formeln:
u=πd
d=uπ,
r=d2 und A=πr2
3) Rechnen: d=128cmπ40,74cm

r=40,74cm220,37cm
A=π(20,37cm)21303,56cm2
4) Der Flächeninhalt der Pizza beträgt ungefähr 1303,56cm2.


Vom Flächeninhalt zum Umfang

Ein kreisförmiges Blumenbeet der Größe 25m2
soll einen Zaun bekommen. Berechne die Länge des Zauns.
1) Gegeben ist der Flächeninhalt des Beetes, und gesucht ist der Umfang.
2) Benötigte Formeln:
A=πr2
r=Aπ,
d=2r
, u=πd
3) Rechnen: r=25m2π2,82m

d=22,82m=5,64m
,
u=π5,64m17,72m
4) Der Umfang des Beetes und damit die Länge des Zauns beträgt ungefähr 17,72m
.

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