LAGEBEZIEHUNGEN(Analytische Geometrie)

Beispiele(GERADE-GERADE)

1. Untersuche die Lage der Geraden und mit

   

Zuerst prüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden auf Kollinearität, also ob sie Vielfache voneinander sind. Wir sehen, dass sich der Richtungsvektor der Geraden aus dem von ergibt, wenn dieser mit multipliziert wird. Wer nicht das allsehende Auge hat, kann den Ansatz wählen und erhält:

   

Wenn in allen Zeilen den gleichen Wert annimmt, sind die Richtungsvektoren kollinear. Denkt an den Abschnitt zu linearer Unabhängigkeit! Da die Werte von in diesem Fall gleich sind, handelt es sich entweder um identische oder parallele Geraden. Um das entscheiden zu können, machen wir eine Punktprobe und setzen z.B. den Ortsvektor von in ein:

   

Wenn in allen Zeilen den gleichen Wert annimmt, liegt der Ortsvektor von auf der Geraden und damit handelt es sich in diesem Fall um identische Geraden. Merke: Kommt an dieser Stelle nicht überall der gleiche Wert für raus, handelt es sich um parallele Geraden!
2. Untersuche die Lage der Geraden und mit

   

Wir prüfen zunächst, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind:

   

Da nicht in allen Zeilen der gleiche Wert für rauskommt, sind die Richtungsvektoren nicht kollinear. Damit handelt es sich entweder um zwei sich schneidende oder windschiefe Geraden. Das überprüfen wir, indem wir die beiden Geradengleichungen gleichsetzen. Wir erhalten ein LGS, welches wir mit den uns bekannten Verfahren auflösen. Das Ergebnis lautet:

   

Setzen wir die Werte von und nun in oberste Gleichung ein, erhalten wir die wahre Aussage . Da die Aussage wahr ist, liegt ein Schnittpunkt vor und es handelt sich um zwei sich schneidende Geraden. Wenn hier eine falsche Aussage raus kommt, sind die Geraden windschief. Der Schnittpunkt kann bestimmt werden, indem in oder in eingesetzt wird: .

Beispiele(GERADE-EBENE)

Gerade liegt in Parameter- und Ebene in Koordinatenform vor

Beispiel Untersuche die Lage der Gerade und der Ebene mit

   

Vorgehen:
1. Parameterform der Gerade umschreiben.
2. , und in Koordinatenform der Ebene einsetzen.
3. Nach Parameter der Gerade umstellen.
4. Ergebnis interpretieren.
Wir schreiben zunächst die Parameterform der Gerade um

   

und setzen in ein:

   

Das Ergebnis setzen wir nun in die Parameterform der Gerade ein und wir erhalten mit

   

eine eindeutige Lösung und wissen somit, dass die Gerade die Ebene im Punkt schneidet.
Was für Lösungsmöglichkeiten gibt es sonst noch?
Wahre Aussagen, z.B.

   

Falsche Aussagen, z.B.

   

Gerade und Ebene liegen in Parameterform vor

Beispiel Untersuche die Lage der Gerade und der Ebene mit

   

Vorgehen:

1. Parameterformen gleichsetzen.
2. LGS aufstellen und lösen. Alternativ: In Matrixschreibweise aufschreiben und in Stufenform bringen.
3. Ergebnis interpretieren.

Wir setzen die Terme von Gerade und Ebene gleich und erhalten folgendes LGS:

   

Mit einem Lösungsverfahren eurer Wahl lösen (siehe Kap. LGS Lösen) und wir erhalten als Lösung , und . Es liegt ein Schnittpunkt der Gerade und Ebene vor. Um diesen zu erhalten setzt ihr entweder in die Geradengleichung oder und in die Ebenengleichung ein. Der Schnittpunkt liegt bei .

Beispiele(EBENE-EBENE)

Ebenen liegen in Parameter- und Koordinatenform vor

Beispiel Gegeben seien die Ebenen in Parameterform und in Koordinatenform mit

   

Idee: umschreiben und in einsetzen:

   

Das Ergebnis in einsetzen und wir erhalten

   

eine Schnittgerade .
Was für Lösungsmöglichkeiten gibt es sonst noch?
Wahre Aussagen, z.B.

   

Falsche Aussagen, z.B.

   

Beide Ebenen liegen in Parameterform vor
Beispiel Gegeben seien die Ebenen und in Parameterform:

   

Wie bei der Lage von Gerade – Ebene in Parameterform setzen wir zunächst die Terme der Ebenengleichungen gleich und erstellen daraus ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 4 Unbekannten.
Es folgt für unser Beispiel das LGS

   

mit der Lösung . Das bedeutet die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgerade. Zur Bestimmung der Schnittgeraden setzen wir die Lösung in eine der beiden Ebenen ein (hier in ).

   

Ebenen liegen in Koordinatenform vor
Liegen die beiden Ebenen in Koordinatenform vor, gibt es mehrere Möglichkeiten. Ihr könnt eine Ebenengleichung in Parameterform umwandeln und das entsprechende Vorgehen abarbeiten, was einen sicheren Ablauf verspricht. Alternativ könnt ihr auch ohne Umwandlung der Gleichungen zum Ergebnis kommen. Ziel ist es dabei, eine Koordinate (, oder ) zu eliminieren.
Beispiel Untersuche die Lagebeziehungen der Ebenen

   

Wir gucken uns die beiden Gleichungen an und sehen, dass die Koordinate wegfällt, wenn die Gleichungen addiert werden. Anschließend stellen wir nach einer übrig gebliebenden Koordinate um, hier .

   

Wir sehen, dass die Ebenen nicht identisch (sonst müsste eine wahre Aussage wie z.B. rauskommen) und nicht parallel (sonst müsste eine falsche Aussage wie z.B. rauskommen). Die Ebenen schneiden sich und haben eine Schnittgerade. Um diese zu ermitteln setzen wir in eine der beiden Gleichungen ein, hier II und stellen nach um. Dadurch haben wir und in Abhängigkeit von ausgedrückt. Es folgt:

   

Mehr können wir nicht machen. Wir schreiben das Ergebnis etwas anders auf und erkennen die Struktur einer Geraden.

   

Jetzt kommt der letzte Schritt, der für viele oft schwer zu verstehen ist. Wir behaupten es sei (oder oder etc.) ein Parameter und erhalten die gesuchte Schnittgerade in Parametergleichung mit