GRENZVERHALTEN WICHTIGER FUNKTIONSTYPEN

Potenzfunktionen im Unendlichen  f(x)= 

Grenzwert im positiven Unendlichen:

falls Exponent n geradzahlig und a positiv:           

falls Exponent n geradzahlig und a negativ:

falls Exponent n nicht geradzahlig und a positiv:

falls Exponent n nicht geradzahlig und a negativ          

Grenzwert im negativen Unendlichen

falls Exponent n geradzahlig und a positiv:               

falls Exponent n geradzahlig und a negativ:         

falls Exponent n nicht geradzahlig und a positiv:         

falls Exponent n nicht geradzahlig und a negativ:     

e-Funktionen im Unendlichen

f(x)=e^x

Besonderheiten: Die Variable x steht im Exponenten, in der Basis (unten) steht eine Zahl.

Die Ableitung bleibt gleich (im Gegensatz zu anderen

Exponentialfunktionen wie 2^x ,3^x ,...  ).

Die e-Funktion steigt schneller als alle Potenzfunktionen (also als z.B. , ,... x²,x³ ).

Die e-Funktion ist immer positiv,

sie ist niemals 0 oder negativ

Der Graph geht durch den Punkt P(0|1).

Er verläuft für x gegen Unendlich über alle Grenzen und für x gegen minus Unendlich gegen Null. 
Die x-Achse ist Asymptote.
Er ist echt monoton steigend. Ein zweiter, markanter Punkt ist Q(1|e).

Verhalten im Unendlichen:



Ln - Funktion im Unendlichen



Die e-Funktion ist - wie jede Exponentialfunktion - streng monoton wachsend auf, d.h. sie ist umkehrbar. Die Gleichung

wird mit dem Logarithmus von y zur Basis e nach x aufgelöst   Man nennt x den natürlichen Logarithmus von y

  e^x schneller als  x^n und x^n schneller als lnx gegen  +∞ strebt, wenn x→+∞

 e^x schneller gegen 0 strebt als 1/x^n  , wenn  x→-∞

 

Gebrochenrationale Funktion im Unendlich



Eine Funktion f, deren Funktionsterm ein Quotient zweier Polynome ist, heißt gebrochenrationale Funktion 

f(x) =

g(x)     h(x)

 

Bestimmung der Asymptote:

Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, so ist die x-Achse Asymptote: a(x) = 0. (Eine Polynomdivision ist dann nicht nötig!)

Ist der Zählergrad gleich oder größer als der Nennergrad, wird die Gleichung der Asymptote durch Polynomdivision ermittel

ZG (Zählergrad) < NG (Nennergrad)    waagrechte Asymptote bei y=0

ZG (Zählergrad) = NG (Nennergrad)

waagrechte Asymptote

ZG (Zählergrad) = NG + 1 (Nennergrad)

schiefe Asymptote (Gerade)

ZG (Zählergrad) > NG + 1 (Nennergrad)

kurvenförmige Asymptote

Anmerkungen

• Natürlich können die Funktionen auch noch Pollstellen haben, die aber in der schematischen Skizze nicht eingezeichnet sind.
• Im Fall ZG > NG  lässt sich der Funktionsterm der Asymptote mithilfe von Polynomdivision bestimmen.
• Senkrechte Asymptoten können bei Nullstellen des Nenners auftreten. Die Vielheit der Nullstellen bestimmt hierbei ggf., ob ein Vorzeichenwechsel auftritt.

Vielfachheit der Nullstelle x 0   :

ungerade: ⇒  senkrechte Asymptote bei x 0   mit Vorzeichenwechsel.
gerade :⇒  senkrechte Asymptote bei x 0   ohne Vorzeichenwechsel
Um das Vorzeichen zu erhalten betrachtet man den links- und rechtseitigengrenzwert


 
Untersucht man ganzrationale Funktionen für beliebige große bzw. kleine x-Werte, so werden auch die Funktionswerte beliebig groß oder klein:

Wir unterscheiden folgende vier Fälle

z < n

Da das Nennerpolynom für große X-Werte schneller wächst als das Zählerpolynoms, nähert sich die Funktion für x ± an die X-Achse an. Man sagt auch die X-Achse ist waagrechte Asymptote der Funktion .Ein Beispiel:


In der Rechnung schreibt man das so:

f(x) =      x2 + 4     x3 – x2 – 3       =      0

Das Zeichen "" spricht man "Limes von x gegen Unendlich".

 

z = n

Zähler und Nenner wachsen für große X-Werte etwa gleich schnell, womit der Bruch sich einem konstantem Wert nähert. Die Funktion hat also eine waagrechte Asymptote, eine Parallele zur X-Achse. Durch Polynomdivision können wir berechnen, an welchem Y-Wert entlang die Asymptote verläuft:

 

f(x) =

x2 – 1     4x2 – x

=

=

1     4

–

1 + 0,25x     4x2 – x

=

(Der zweite Bruch ist eine Funktion mit z < n und wird damit zu 0!)

=

1     4

=

0,25

Die Asymptote ist also eine Parallele zur X-Achse bei y = 0,25:


Noch einfacher läßt sich dieser Wert (0,25) berechnen, indem man einfach den Koeffizienten des höchsten Glieds im Zähler durch den Koeffizienten des höchsten Glieds im Nenner teilt:

f(x) =

1x2 – 1     4x2 – x

=

1     4

=

0,25

z = n + 1

Da der Zähler für große Werte "um ein x" schneller wächst als der Zähler, nähert sich der Bruch einer Geraden der Form a(x) = mx + t an. Die Asymptote der Funktion ist also eine Gerade. Durch Polynomdivision können wir die Geradengleichung der Asymptote bestimmen:

 

f(x) =

x3 + x2     –2x2 + 10

=  –

1     2

x –

1     2

+

5x + 5     –2x2 + 10

;

Wir erkennen das letzte Glied des Termes, das für unendlich große x zu Null wird:

–

1     2

x –

1     2

+

5x + 5     –2x2 + 10

=

1     2

x –

1     2

=

–0,5x – 0,5

Die Geradengleichung der Asymptoten ist also a(x) = -0,5x - 0,5.

 

.

z > n + 1

Analog nähert sich eine solche Funktion für große X-Werte einem Polynom vom Grade z-n an: Durch Polynomdivision können wir die Funktionsgleichung dieses "Grenzpolynoms" bestimmen:

f(x) =

x3 + 2x2 – 2     x + 1

=  x2 + x – 1 –

1     x + 1

;

Wir erkennen das Glied des Termes, das für unendlich große x zu Null wird:

x2 + x – 1 –

1     x + 1

=

x2 + x – 1

Die Gleichung des Polynoms lautet also p(x) = x² + x - 1

 

 

 

 

 

 

 

 

  

ANALYSISVOKABELN

Achsenschnittpunkt:

z.B.   f(x) = (x-1)²    oder  y= (x-1)²
           

x-Achseschnittpunkt:    y=0     0= (x-1)²     ⇒  0=x-1  ⇒ x=1

y -Achseschnittpunkt:  x=0     y= (0-1)² ⇒  y=1

Extrempunkt:

Entweder Hoch oder Tiefpunkt
Beispiel:

y= (x-1)² +2

    

y= -(x+1 )² +1

 

 

Grad des Polynoms:

Als Grad des Polynoms bezeichnet man den größten Exponenten von x.z.B y= x³ +5x² hat den Grad 3

Koeffizient eines Polynoms:

Ein Koeffizient ist die reelle Zahl vor den X Potenzen
y=3x²+5x     3 und 5 sind Koeffizienten

Normale:

Die Normale ist die Gerade, die auf der Tangente in einem bestimmten Punkt senkrecht steht.

Tangente:

Eine Tangente ist eine Gerage, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt und dabei die gleiche Steigung wie die Kurve hat.Die  Steigung einer Funktionen  an einer Stelle ist Tangente.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nullstelle:

Die Nullstelle ist der x-Wert des Punktes, an dem die Funktion gleich Null ist,der Grapf der Funktion schneidet oder berührt die x-Achse.

Polstelle:

Dasselbe wie Unendlichkeitsstelle, bei rationalen Funktionen.Jede rationale Funktion ist rechts und links von einer Nullstelle des Nenners nicht beschränkt (keine Grenzen -läuft nach unendliche) , wenn der Zähler an dieser Stelle auch Null ist. Man spricht von einer Unendlichkeitsstelle.

                                                   

Asymtote:

Die Gerade, der sich der Graph der Funktion nähert , heißt Asymtote.

Rationale Funktionen:(Gebrauchen Rationale Funktionen)

Der Funktion ist ein Bruch aus zwei Polynomen.
f(x)=( x³-x)  /  ( x²+7)

Stetig:

Einen Funktion heißt stetig in ihrem Definitionsbereich , wenn der Graph dort keinen Sprung hat.

 

Die Stelle x₀ einer Funktion nennt man unstetig, wenn die Funktion
an dieser Stelle einen Sprung macht.





Wenn die Funktion an der Stelle x₀ keinen Sprung, so nennt
man die Stelle x₀ eine stetige Stelle der Funktion




       Gegeben sei eine Funktion f(x) und eine Stelle x₀.
Dann nennt man die Stelle x₀ stetig, wenn die
folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1) Die Stelle x₀ im Definitionsbereich von f(x) liegt
2) Der Grenzwert (limes) an der Stelle x₀ vorhanden ist
    (d.h. linksseitiger Grenzwert= rechtsseiter Grenzwert)
 3) An der Stelle x₀ der Grenzwert (limes)  mit dem
    Funktionswert f(x₀) übereinstimmt:


Für die Endpunkte des Definitionsbereiches gilt:

 4) Einen Endpunkt des Definitionsbereiches nennt man stetig,
    wenn der einseitige Grenzwert gebildet werden kann,
    und mit dem Funktionswert übereinstimmt.


Man kann so zusammenfassen:

Polynomfunktionen sind immer stetig und differenzierbar

e-Funktionen sind im Normalfall (ohne Bruch) immer stetig und differenzierbar

Trigonometriefunktionen sind immer stetig und differenzierbar

Wurzelnfunktionen  sind nur stetig und differenzierbar im Definitionsbereich

Logaritmusfunktionen sind nur stetig und differenzierbar im Definitionsbereich

Gebrochenrationale  ( Brüche) Funktionen sind( bei Nenner null ) nicht stetig und differenzierbar.Bei Nenner null ist , hat Funktion Asymtote

Terrasenpunkt:(sattelpunkt)

Punk des Graphen mit waagerechter Tangente, aber kein Extrempunkt.Diese Punkt hat Steigung 0.

Wendepunkt:

Punkt des Graphen , an dem sich die Krümming ändert.

 

ÜBUNGSAUFGABEN ZU QUADRATISCHEN GLEICHUNGEN UND PARABELN

Lösungsformel für quadratische Gleichungen





1. Möglichkeit: p-q-Formel

Die Gleichung x2  px  q  0 besitzt die Lösungsformel

 

2. Möglichkeit: abc-Formel

Die Gleichung ax²  bx  c  0 besitzt die Lösungsformel

 

Scheitelpunkte von Parabeln:

  

1.Fall: Die Parabel y  a  x²      besitzt den Scheitelpunkt S(0/0).

2.Fall: Die Parabel y  a  x²  c     besitzt den Scheitelpunkt S(0/c).

3.Fall: Bei der Parabel y  a  x²  b  x  c    kann der Scheitelpunkt anhand der Gleichung



nicht abgelesen werden.



Die Parabelgleichung muss in die Scheitelform y  a  (x  xS )  yS umformt werden.

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S(xS / yS ) .

Ist a = 1, handelt es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel.

Ist a = -1, handelt es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel.

Nimmt a einen anderen Wert an, ist es keine Normalparabel.

 

Zeichnen von Parabeln:

  

1.Fall: Die nach oben geöffnete Normalparabel y  x²   ... kann mit Hilfe einer



Parabelschablone und ihres Scheitelpunktes gezeichnet werden.

 

2.Fall: Die nach unten geöffnete Normalparabel y  x²  ... kann mit Hilfe einer



Parabelschablone und ihres Scheitelpunktes gezeichnet werden.

3.Fall: Die Nicht-Normalparabel y  a  x²   ... (a entspricht irgendeiner Zahl außer  1) wird

mit Hilfe einer Wertetabelle (die auch der GTR liefert) gezeichnet.

Nullstellen einer Parabel:

Die Nullstellen einer Parabel entsprechen den Schnittpunkten mit der x-Achse.

Hierzu muss der y-Wert der Parabelgleichung 0 gesetzt und die daraus entstehende

quadratische Gleichung gelöst werden. 

Prüfung, ob ein gegebener Punkt auf einer Parabel liegt:

Die Koordinaten des Punktes werden in die Parabelgleichung eingesetzt.

Entsteht dadurch eine wahre Aussage (z.B. 1 = 1), liegt der Punkt auf der Parabel. Entsteht

eine falsche Aussage (z.B. 3 = 9), liegt der Punkt nicht auf der Parabel.





 

Wir lösen die Gleichung

 4x²-10x+6= 0    nach pq und abc( mitternachtsformel) Formeln

 

 

Lösungskontrolle:     x(1) +  x(2) = -p   ,    x(1) . x(2) = q

D =b² - 4ac nennt man als Diskriminant

Ist D >  0  zwei Lösungselemente

Ist D < 0 ein Lösungselemente    

Ist D = 0  kein Lösungselemente  

 

Aufgaben

1. f(x)  0,4x²  3

Die Parabel besitzt den Scheitelpunkt S(0/3). Sie ist nach oben geöffnet und flacher al

eine Normalparabel.

     2. f(x)  (x  2)²  5

Die Parabel besitzt den Scheitelpunkt S(-2/5). Sie ist nach oben geöffnet und ist eine

 Normalparabel.

     3. f(x)  2(x  2)²  2

Die Parabel besitzt den Scheitelpunkt S(2/-2). Sie ist nach unten geöffnet und ist steiler

als eine Normalparabel.

     4. Ein Ball, der von einem Jungen in 1,5 Meter Höhe abgeworfen wird, erreicht nach 20 Meternmit 8 Metern über dem Boden seinen höchsten Punkt.

a) Skizziere die Situation in einem Koordinatensystem.

b) Bestimme die Gleichung der parabelförmigen Flugbahn des Balles.

a) Schaubild:

b) Die Parabel besitzt den Scheitelpunkt S(20/8). Die Abwurfstelle des Balles sei an der

Stelle x = 0. Also liegt auch der Punkt P(0/1,5) auf der Parabel.

Parabelgleichung: y  a  (x  20)²  8

Einsetzen von P(0/1,5): 1,5  a  (0  20)²  8  a  0,01625

Die Gleichung der Flugbahn lautet y  0,01625  (x  20)²  8

Scheitelpunkte von quadratischen Funktionen 

Quadratische Funktionen weisen besondere Eigenschaften auf.Sie haben einen Hoch- oder Tiefpunkt, sind links-oder rechtsgekrümmt und können bis zu zwei Nullstellen haben.Eine weitere Eigenschaft ist der Scheitelpunkt.Zieht man eine senkrechte Achse durch den Scheitelpunkt, so kann man die Funktion an dieser Achse Spiegeln.Um die Scheitelpunkteeiner quadratischen Funktion zu besstimmen muss man die Funktion  in ihre Scheitelpunktsform überführen.

                                                        QUADRATISCHE       ERGÄNZUNG

1. Gesucht ist die Scheitelpunkstsform und der Scheitelpunkt der Funktion  y= x² - 2x +5

    y= x² -2x +5    /   -5

y-5 = x² -2x        /   +1   ( 2:2=1   1² = 1 quadratische Ergänzung ! )

y-5+1= x² -2x +1 /

y-4 = x² -2x +1

y- 4=( x-1)²

y= (x-1)² + 4         S(1/ 4)

2. Gesucht ist die Scheitelpunkstsform und der Scheitelpunkt der Funktion   y= 12x² +24x+9

 y = 12x²+24x+9   / -9

y-9= 12x² +24x    / : 12

(y-9)/12= x² +2x    /  +1

(y-9)/12 +1 = x² +2x+1

(y-9)/12 +1 = (x+1)²    / -1

(y-9)/12=(x+1)²-1 / .12

(y-9) = 12.(x+1)² -12    /+9

y= 12.(x+1)² -3               S( -1/ -3)

3. Gesucht ist die Scheitelpunkstsform und der Scheitelpunkt der Funktion   y=x²+6x+13

y= x²+6x+13  / -13

y-13 = x²+6x  / +9     (6:2=3     3² = 9  quadratische Ergänzung)

y-4= x² +6x+9

y-4= (x+3)²     /+4

y= (x+3)² +4               S( -3/ 4 )



QUADRATISCHE FUNKTIONEN