Eine Gleichung mit mehreren Unbekannten (Variablen ) heißt linear, wenn die Unbekannten nur in der ersten Potenz vorkommen zB. 5x+4y-3z = 38 . Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen , die gleichzeitig erfüllt sein müssen.
Lineare Gleichungssystem mit zwei Unbekannten
Lösungsmöglichkeiten :
1) Es gibt genau eine Lösung, die Geraden schneiden sich in genau einem Punkt.
2) Es gibt mehrere Lösungen, die beiden Geraden sind identisch ( fallen zusammen ).
3) Es gibt keine Lösung, die beiden Geraden sind parallel und voneinander verschieden.
*Einsetzungsmethode:
1) Auflösen einer der beiden Gleichungen nach einer Unbekannten.
2) Einsetzen des für diese Unbekannte erhaltenen Ausdrucks in die andere Gleichung.
3) Auflösung dieser Gleichung nach der ( verbliebenen) einzigen Unbekannten.
4) Einsetzen dieser Unbekannten in 1).Dadurch erhält man die Lösung für die zweite Unbekannte. Falls in 3) ein wiederspruch entsteht, gibt es keine Lösung. Falls in 3) eine Identität zB.
5x+7=5x+7 oder 5=5 entsteht gibt es unendlich viele Lösungen.
Beispiel: 1) 2x+3y=7 => x=3,5 - 1,5y diese Ausdruck einsetzen in die andere Gleichung
2) 3x-2y=4
3( 3,5-1,5y) - 2y = 4 => y=1 jetzt setzen wir diese Unbekannte in x= 3,5-1,5y
x= 3,5-1,5*1
x=4
Probe: 2x+3y=2*2+3*1 und 3x-2y=3*2-2*1=
7 = 7 4 = 4
Beispiel: 1) 2x-4y=10 => x=2y+5
2) -3x+6y= -15
-3 ( 2y +5 )+6y= -15
-15= -15 oder 0=0 Diese Gleichung ist für jedes y erfüllt
y beliebig => x=2y+5 Beide Gleichungen stellen dieselbe Gerade dar.
Beispiel:1) 4x-6y= 7
2) - x+ 1,5y=2 => x=1,5y-2
4x-6y=7
4(1,5y-2) -6y=7
-8 = 7 wiederspruch! Beide Geraden sind parallel und voneinander verschieden.
*Gleichsetzungsmethode:
Bei der Gleichsetzungsmethode werden beide Gleichungen nach derselben Unbekannten aufgelöst.Gleichsetzen der Ausdrücke für diese Unbekannte liefert eine Gleichung für die andere Unbekannte.Einsetzen der Lösung in die im ersten Schritt aufgelöste Gleichung ergibt die Lösung für die andere Unbekannte.
Beispiel:1) 3x-4y= 5 => y=( 3/4)x-5/4
2) 9x+3y=6 => y= -3x+2
y=y
(3/4)x-5/4= - 3x+2 => x=13/15 diese Wert einsetzen in y=-3x+2 => y= -3(13/15)+2
y= -3/5
Beispiel: 1) -3x +6y=10 => x=2y- 10/3
2) 2x-4y=8 => x=2y+4
x=x => 2y-10/3=2y+4 => -10/3=4 wiederspruch! keine Lösung
Beispiel: 1) 3x-6y=12 => x=2y+4 }
2)-4x+8y=-16 => x=2y+4 } ist für alle y erfüllt
y beliebig: x=2y+4 oder x beliebig y=0,5x-2
*Additionsmethode:
Bei der Additionsmethode werden beide Gleichungen so durchmultipliziert, dass bei der Addition ( Subhtaktion) dieser multiplizieren Gleichungen eine Unbekannte wegfällt.Dadurch entsteht eine Gleichung für eine Unbekannte.Aus einer der beiden Ausgangsgleichungen erhält man dann die Lösung für die andere Unbekannte.
Beispiele: 1) 2x+4y= 3 mal mit (3)
2) 1,5x+3y=2 mal mit (-4)
1) 6x+12=9
2) -6x-12y= -8
0=1 wiederspruch! keine Lösung
Beispiele:1) 5x-7y=2 mal mit (6)
2)6x-8,4y=2,4 mal mit (-5)
30x-42y=12
-30x+42y= -12
0=0 ist für alle y erfüllt
Lineare Gleichungen mit drei Unbekannten
Bei der linearen Gleichungen mit drei Unbekannten wird aus einer Gleichung einer Unbekannte durch die bei den anderen eliminiert.Dieser Ausdruck wird in die beiden anderen Gleichungen eingesetzt.Dadurch entstehen zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten.
Beispiel: 1) x+2y+z=8
2) x-y+2z=5
3) 2x+3y-3z= -1 aus 1) folgt x=8-2y-z dieser Ausdruck einstzen in 2) und 3)
2) (8-2y-z)-y+2z=5 => -3y+z= -3
3) 2(8-2y-z)+3y-3z= -1 => -y -5z= -17 mit (-3)
-3y+z= -3
3y+15z=51
z=3
y=17-5z=2 => y=2
x=8-2y--z=1 => x=1
Beispiel:1) -x-3y+4z=8 => x= -3y+4z-8
2) 2x+y-3z=5 => 2(-3y+4z-8)-3z=5 => -5y+5z=21 mal mit (-3)
3) 4x-3y-z=10 => 4(-3y+4z-8)-3y-z=10 => -15y+15z=42
45y-15z= -63
-15y+15z=42
0= -21 keine Lösung
Falls ein lineares Gleichungssystem ein einzige Lösung liefert, sollte diese Lösung durch Einsetzen in alle gegebenen Gleichungen überprüft werden.Es genügt nicht, die Probe mit einer einzigen Gleichung durchzuführen.Wenn zB bei zwei Gleichungen für zwei Unbekannte mit einem falschen y Wert der x Wert aus der ersten Gleichung berechnet wird, so stimmt die Probe diese Gleichung, obwohl y und vermutlich x falsch sind.Der Fehler wird erst bei der Probe mit der zweiten Gleichung erkennbar.
Für eine Kurzprobe können alle Gleichungen addiert werden.Dann wird ein Fehler zwar nicht immer, jedochin den meisten Fällen erkennbar.
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