Lösungsformel für quadratische Gleichungen
1. Möglichkeit: p-q-Formel
Die Gleichung x2 px q 0 besitzt die Lösungsformel
2. Möglichkeit: abc-Formel
Die Gleichung ax² bx c 0 besitzt die Lösungsformel
Scheitelpunkte von Parabeln:
1.Fall: Die Parabel y a x² besitzt den Scheitelpunkt S(0/0).
2.Fall: Die Parabel y a x² c besitzt den Scheitelpunkt S(0/c).
3.Fall: Bei der Parabel y a x² b x c kann der Scheitelpunkt anhand der Gleichung
nicht abgelesen werden.
Die Parabelgleichung muss in die Scheitelform y a (x xS ) yS umformt werden.
Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S(xS / yS ) .
Ist a = 1, handelt es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel.
Ist a = -1, handelt es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel.
Nimmt a einen anderen Wert an, ist es keine Normalparabel.
Zeichnen von Parabeln:
1.Fall: Die nach oben geöffnete Normalparabel y x² ... kann mit Hilfe einer
Parabelschablone und ihres Scheitelpunktes gezeichnet werden.
2.Fall: Die nach unten geöffnete Normalparabel y x² ... kann mit Hilfe einer
Parabelschablone und ihres Scheitelpunktes gezeichnet werden.
3.Fall: Die Nicht-Normalparabel y a x² ... (a entspricht irgendeiner Zahl außer 1) wird
mit Hilfe einer Wertetabelle (die auch der GTR liefert) gezeichnet.Nullstellen einer Parabel:
Die Nullstellen einer Parabel entsprechen den Schnittpunkten mit der x-Achse.
Hierzu muss der y-Wert der Parabelgleichung 0 gesetzt und die daraus entstehende
quadratische Gleichung gelöst werden.
Prüfung, ob ein gegebener Punkt auf einer Parabel liegt:
Die Koordinaten des Punktes werden in die Parabelgleichung eingesetzt.
Entsteht dadurch eine wahre Aussage (z.B. 1 = 1), liegt der Punkt auf der Parabel. Entsteht
eine falsche Aussage (z.B. 3 = 9), liegt der Punkt nicht auf der Parabel.
Wir lösen die Gleichung
4x²-10x+6= 0 nach pq und abc( mitternachtsformel) Formeln
Lösungskontrolle: x(1) + x(2) = -p , x(1) . x(2) = q
D =b² - 4ac nennt man als Diskriminant
Ist D > 0 zwei Lösungselemente
Ist D < 0 ein Lösungselemente
Ist D = 0 kein Lösungselemente
Aufgaben
- f(x) 0,4x² 3
Die Parabel besitzt den Scheitelpunkt S(0/3). Sie ist nach oben geöffnet und flacher al
eine Normalparabel.
2. f(x) (x 2)² 5
Die Parabel besitzt den Scheitelpunkt S(-2/5). Sie ist nach oben geöffnet und ist eine
Normalparabel.
3. f(x) 2(x 2)² 2
Die Parabel besitzt den Scheitelpunkt S(2/-2). Sie ist nach unten geöffnet und ist steiler
als eine Normalparabel.
4. Ein Ball, der von einem Jungen in 1,5 Meter Höhe abgeworfen wird, erreicht nach 20 Meternmit 8 Metern über dem Boden seinen höchsten Punkt.
a) Skizziere die Situation in einem Koordinatensystem.
a) Schaubild:
b) Die Parabel besitzt den Scheitelpunkt S(20/8). Die Abwurfstelle des Balles sei an der
Stelle x = 0. Also liegt auch der Punkt P(0/1,5) auf der Parabel.
Parabelgleichung: y a (x 20)² 8
Einsetzen von P(0/1,5): 1,5 a (0 20)² 8 a 0,01625
Scheitelpunkte von quadratischen Funktionen
Quadratische Funktionen weisen besondere Eigenschaften auf.Sie haben einen Hoch- oder Tiefpunkt, sind links-oder rechtsgekrümmt und können bis zu zwei Nullstellen haben.Eine weitere Eigenschaft ist der Scheitelpunkt.Zieht man eine senkrechte Achse durch den Scheitelpunkt, so kann man die Funktion an dieser Achse Spiegeln.Um die Scheitelpunkteeiner quadratischen Funktion zu besstimmen muss man die Funktion in ihre Scheitelpunktsform überführen.
QUADRATISCHE ERGÄNZUNG
1. Gesucht ist die Scheitelpunkstsform und der Scheitelpunkt der Funktion y= x² - 2x +5
y= x² -2x +5 / -5
y-5 = x² -2x / +1 ( 2:2=1 1² = 1 quadratische Ergänzung ! )
y-5+1= x² -2x +1 /
y-4 = x² -2x +1
y- 4=( x-1)²
y= (x-1)² + 4 S(1/ 4)
2. Gesucht ist die Scheitelpunkstsform und der Scheitelpunkt der Funktion y= 12x² +24x+9
y = 12x²+24x+9 / -9
y-9= 12x² +24x / : 12
(y-9)/12= x² +2x / +1
(y-9)/12 +1 = x² +2x+1
(y-9)/12 +1 = (x+1)² / -1
(y-9)/12=(x+1)²-1 / .12
(y-9) = 12.(x+1)² -12 /+9
y= 12.(x+1)² -3 S( -1/ -3)
3. Gesucht ist die Scheitelpunkstsform und der Scheitelpunkt der Funktion y=x²+6x+13
y= x²+6x+13 / -13
y-13 = x²+6x / +9 (6:2=3 3² = 9 quadratische Ergänzung)
y-4= x² +6x+9
y-4= (x+3)² /+4
y= (x+3)² +4 S( -3/ 4 )
