Beispiel: Dreifacher Münzwurf
Bei jedem Wurf gibt es zwei Möglichkeiten, Kopf K oder Zahl Z. Insgesamt ergeben
sich 2⋅2⋅2 = 2³ = 8 Möglichkeiten, die sich im Baumdiagramm übersichtlich
darstellen lassen.
Der Baum besteht aus Knoten und Ästen , die je zwei Knoten miteinander
verbinden. Die Endknoten werden Blätter genannt. Jeder Baum beginnt mit
verbinden. Die Endknoten werden Blätter genannt. Jeder Baum beginnt mit
dem Startknoten (Anfangsknoten oder Wurzel) und endet mit den Blättern.
Ein Weg vom Startknoten zu einem Blatt heißt Pfad .
Die Wahrscheinlichkeit „erst Kopf, dann Zahl und dann Kopf zu werfen“ beträgt
1/2 . 1/2 . 1/2 = 1/8 = 0,125 = 12,5 % ( PFAD - MULTIPLIKATIONSREGEL )Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „genau zweimal Zahl zu werfen“ beträgt
Beispiel: Es werden zwei Würfel geworfen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt ein Sechserpasch?
Lösung mit Teilbaum:
Bei jedem Wurf ist hierbei nur das Ereignis „Es fällt eine 6“ und das
Gegenereignis „Es fällt keine 6“ dargestellt.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Sechserpasch beträgt
Beispiel:
Die drei Glücksräder drehen sich gleichzeitig. Dreimal die Ziffer 3 gewinnt
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (Gewinnchance), dass alle drei Glücksräder dieZiffer 3 anzeigen?
b) Dreimal die gleiche Ziffer gewinnt. Wie groß ist die Gewinnchance?
Lösung mit Teilbaum:
- a)
- Die Gewinnchance für „dreimal die Ziffer 3“ beträgt:
P(3;3;3)=1/9 . 1/9 . 1/9 ~ 1/729 ~ 0,14 %
b)
Die Gewinnchance für „dreimal eine gleiche Ziffer Z“ beträgt:
P( Z;Z;Z)= 1/9 .1/9 . 1/9 = 1/729=0,14 %
Da die Gewinnchance für jede der 9 Ziffern gleich groß ist, folgt für die Gewinnchance
„dreimal die gleiche Ziffer“ gewinnt:
P(dreimal eine gleiche Ziffer) =1/729+1/729+1/729+1/729+1/729+1/729+1/729+1/729+1/729=9/729
9/729 ≈1,2 %
Beispiel:
Peter bietet seinem Bruder Paul folgende Wette an:
„Wenn bei drei Würfen mit einer 1-Euro-Münze mindestens zweimal Zahl fällt, mache ich
deine Hausaufgaben, sonst machst du meine Hausaufgaben.“
Soll Paul darauf eingehen?
a) Vervollständige das Baumdiagramm.
b) Schreibe alle Ausgänge zu dem Ereignis „mindestens zweimal Zahl“ auf.
c) Ermittle die Wahrscheinlichkeit zum Ereignis „mindestens zweimal Zahl“.
c) Ermittle die Wahrscheinlichkeit zum Ereignis „mindestens zweimal Zahl“.
a)
b)
(Z,Z,Z), (Z,Z,W), (Z,W,Z), (W,Z,Z).
c)
P(mindestens zweimal Zahl) =1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 =4/8 = 1/2 = 50 %
Beispielaufgabe mit vereinfachtem Baumdiagramm (Ereignis – Gegenereignis)
Ein Würfel wird dreimal nacheinander geworfen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit würfelt man dabei
a) keine Sechs?
b) genau eine Sechs?
b) höchstens eine Sechs?
d) mindestens eine Sechs?
Lösung zu Aufgabe mit Hilfe des Baumdiagramms:
a) „Keine Sechs“ wird mit einer Wahrscheinlichkeit von
125/216= 0,5787 = 57,87 %
b)„Genau eine Sechs“ wird mit einer Wahrscheinlichkeit von
25/216 + 25/216 + 25/216 = 75/216 = 0,3472 = 34,72 %
c) „Höchstens eine Sechs“ wird mit einer Wahrscheinlichkeit von
125/216 + 25/216 + 25/216 + 25/216 = 200/216 = 0,9259 =92,59 %
d) „Mindestens eine Sechs“ wird mit einer Wahrscheinlichkeit von
1/216 + 5/216 + 5/216 + 25/216 + 5/216 + 25/216 + 25/216 =91/216 = 0,41129 ≈ 42,13 %
ODER:
1 - 125/216 = 1 - 0,5781 = 0,4213 = 42,13 %
(Gegenereignis zu „keine Sechs“) gewürfelt.
Aufgaben – zusammengesetzte Zufallsexperimente
1) Ein Würfel wird 4-mal geworfen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit nur Fünfen oder nur Sechsen zu werfen?
LÖSUNG:
P(5, 5, 5, 5) =1/6.1/6.1/6.1/6 = 1/1296
P(6, 6, 6, 6) =1/6.1/6.1/6.1/6 = 1/1296
P((5, 5, 5, 5) oder (6, 6, 6, 6)) = 1/1296 + 1/1296 = 1/648 ≈ 0,15 %
2) Eine Urne enthält 3 schwarze und 5 weiße Kugeln. Zwei Kugeln werden nacheinander mit
(ohne) Zurücklegen gezogen.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, zweimal eine schwarze Kugel zu ziehen.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel schwarz ist.
LÖSUNG:
Mit Zurücklegen (S steht für eine schwarze, W für eine weiße Kugel):
a) Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei schwarze Kugeln gezogen werden, beträgt:
3/8.3/8=9/64= 14,1 %
b) Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite gezogene Kugel schwarz ist, beträgt:
9/64+15/64= 3/8= 37,5 %
Ohne Zurücklegen (S steht für eine schwarze, W für eine weiße Kugel):
3/8.2/7= 6/56= 10,7 %
b) Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite gezogene Kugel schwarz ist, beträgt:
6/56+15/56=21/56=3/8= 37,5 %
3) Von 10 Zahlen sind 5 positiv, 5 negativ. Zwei Zahlen werden zufällig ohne Zurücklegen
gewählt und miteinander multipliziert.
Ist ein positiver oder ein negativer Produktwert wahrscheinlicher?
LÖSUNG:
(p steht für eine positive, n für eine negative Zahl)
Ein positiver Produktwert tritt bei den Ergebnissen p p und n n ein.
Die Wahrscheinlichkeit für einen positiven Produktwert beträgt: 2/9+2/9= 4/9
Ein positiver Produktwert tritt bei den Ergebnissen p n und n p ein.
Die Wahrscheinlichkeit für einen negativen Produktwert beträgt: 5/18+5/18= 10/18=5/9
1. Ein Skatspiel besteht aus 32 Karten
- a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote Zahl gezogen wird?
- b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass weder eine rote noch eine schwarze Zahl gezogen wird?
- c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl gezogen wird?
- d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl zwischen 1 und 12 gezogen wird?
- e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine der Zahlen gezogen wird, die übereinander auf der linken Seite angeordnet sind (1 – 4 – 10 – ...)?
3. In einem undurchsichtigen Gefäß befinden sich wie abgebildet Kugeln. Bestimme mit Hilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, bei zweimaligem Ziehen
a) zwei rote Kugeln zu ziehen.
b) eine rote und eine gelbe Kugel zu ziehen,
c) zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe zu ziehen.
Es soll stets gelten, dass zuerst gezogene Kugel nach der Ziehung wieder in das Gefäß zurückgelegt wird.
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