RECHNEN MIT VARIABLEN ( Termumformungen )

Terme sind Rechenausdrücke. Sie können Zahlen und Variablen enthalten. Setzt man für die Variablen Zahlen ein, so erhält man eine Zahl als Ergebnis.

Terme kann man vereinfachen, indem man gleiche Variablen zusammenfast. z.B.

3x+5+2x+4 = 3x+2x+5+4   (Ordnen)
                  = 5x+9            ( Zusammenfassen)


PLUSKLAMMERN: Plusklammern dürfen weglassen werden.


3x+(7a+2x) = 3x+7a+2x
                   = 3x+2x+7a
                   = 5x+7a


MINUSKLAMMERN: Minusklammern dürfen weglassen werden, wenn alle Rechenzeichen i der Klammer ändert.


3x-(7a+2x) = 3x-7a-2x
                  = 3x-2x-7a
                  = x-7a


DISTRIBUTIVGESETZ(Verteilungsgesetz): Wird eine Zahl mit einer Summe multipliziert, so muss die Zahl mit jedem Glied der Summe multipliziert werden.


(x+y).(a+b) = (x+y).a+b.(x+y)
                   = ax+ay+bx+by


MULTIPLIKATION ZWEIER SUMMEN: Zwei Summen werden multipliziert, indem jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert wird und die Produkte addiert werden.


(3x+2b).(5b+2x) = 3x.5b+3x.2x+2b.5b+2b.2x
                           = 15bx+6x^2+10b^2+4bx
                           = 19bx+6x^2+10b^2


AUSKLAMMERN: Enthält in einer Summe jeder der Summanden den gleichen Faktor, so kann dieser als gemeinsamer Faktor ausklammert werden.


ax+ay-az = a(x+y-z)


ZERLEGEN EINER SUMME IN EIN PRODUKT: Auch die Binomischen Formeln können zur Zerlegung einer Summe in ein Produkt verwendet werden.


a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2        ERTE  BINOMISCHE  FORMEL
a^2-2ab+b^2  = (a-b)^2         ZWEITE  BINOMISCHE  FORMEL
a^2-b^2          = (a+b).(a-b)    DRITTE  BINOMISCHE  FORMEL



FACHBEGRIFFE FÜR DIE TERME:
 

                                                 ADDITION

                                   SUMMAND+SUMMAND=SUMME          16+4=20
 
addieren, dazuzählen, vermehren.........


                                               SUBTRAKTION

                                MINUEND -  SUBTRAHEND = DIFFERENZ     16-4=12

subtrahieren, abziehen, vermindern, verkleinern, der Unterschied ........  


                                              MULTIPLIKATION

                             FAKTOR  .   FAKTOR = PRODUKT              16 . 4 = 64

multiplizieren, malnehmen, vervielfachen, das ..... fache von .......



                                                   DIVISION

                                  DIVIDEND :  DIVISOR = QUOTIENT       16:4=4

dividieren, der....te Teil von, die Hälfte von, ein Achtel von,........


Sechs Trick Zum Vereinfachen Von Termen:

Trick 1) Zuerst alle  +   Glieder        13-44+12-8-5+24=

Trick 2) Punkt vor Strich                  32-5.4+8+20:4 =    nach  KLAPUSTRI  REGEL!!!!!!!!

Trick 3) Klammern zuerst ausrechnen     ( 32-5 ).4+( 8+20 ) =

Trick 4) Säcke zu Säcken - Nüsse zu Nüssen      mit Variablen   18x-3+8-y-6x-1+x+2y =
 
Trick 5) Klammern auflösen-Achtung: Minuszeichen davor dreht die Zeichen innen um!
                                                     
             
                 7x+( 3x-7 )-x = 7x+3x-7-x       aber       7x-( 3x-7 )-x = 7x-3x+7-x


Trick 6) Klammern ausmultiplizieren      24x-4.( 12-5x )+8 =



Mit einem Beispiel fassen wir zusammen:

10-3( 6-9 )-( 18-17.2 ) = Klammern zuerst berechnen! Bei verschachtelten Klammern wird die innere Klammer zuerst berechnet.

10-3.( -3 )-(18-34) =

10+9-(-16) =

10+9+16 =35
 

Wichtige Information:  + .+= +               + : +=+
                                         +. -= -                 +: - = -
                                         -.-  = +                -: -  = +

 





LINEARE GLEICHUNGSSYTEMS ( Lineer Denklemler )

Eine Gleichung mit mehreren Unbekannten (Variablen ) heißt linear, wenn die Unbekannten nur in der ersten Potenz vorkommen zB.  5x+4y-3z = 38  . Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen , die gleichzeitig erfüllt sein müssen.


                               Lineare Gleichungssystem mit zwei Unbekannten


Lösungsmöglichkeiten :

1) Es gibt genau eine Lösung, die Geraden schneiden sich in genau einem Punkt.
2) Es gibt mehrere Lösungen, die beiden Geraden sind identisch ( fallen zusammen ).
3) Es gibt keine Lösung, die beiden Geraden sind parallel und voneinander verschieden.

*Einsetzungsmethode:
1) Auflösen einer der beiden Gleichungen nach einer Unbekannten.
2) Einsetzen des für diese Unbekannte erhaltenen Ausdrucks in die andere Gleichung.
3) Auflösung dieser Gleichung nach der ( verbliebenen) einzigen Unbekannten.
4) Einsetzen dieser Unbekannten in 1).Dadurch erhält man die Lösung für die zweite Unbekannte. Falls in 3) ein wiederspruch entsteht, gibt es keine Lösung. Falls in 3) eine Identität zB.
5x+7=5x+7    oder    5=5  entsteht gibt es unendlich viele Lösungen.

Beispiel:  1)  2x+3y=7   => x=3,5 - 1,5y diese Ausdruck einsetzen in die andere Gleichung 
                2) 3x-2y=4
                    3( 3,5-1,5y) - 2y = 4  => y=1 jetzt setzen wir diese Unbekannte in x= 3,5-1,5y
                                                                                                                                  x= 3,5-1,5*1
                                                                                                                                  x=4
Probe: 2x+3y=2*2+3*1          und      3x-2y=3*2-2*1=
                   7 = 7                                         4 = 4



Beispiel: 1) 2x-4y=10      =>  x=2y+5 
               2) -3x+6y= -15
                   -3 ( 2y +5 )+6y= -15
                                     -15= -15   oder 0=0    Diese Gleichung ist für jedes y erfüllt
y beliebig   => x=2y+5  Beide Gleichungen stellen dieselbe Gerade dar.

Beispiel:1) 4x-6y= 7
               2) - x+ 1,5y=2  => x=1,5y-2
                4x-6y=7
                4(1,5y-2) -6y=7 
                            -8 = 7    wiederspruch!   Beide Geraden sind parallel und voneinander verschieden. 



*Gleichsetzungsmethode:
Bei der Gleichsetzungsmethode werden beide Gleichungen nach derselben Unbekannten aufgelöst.Gleichsetzen der Ausdrücke für diese Unbekannte liefert eine Gleichung  für die andere  Unbekannte.Einsetzen der Lösung in die im ersten Schritt aufgelöste Gleichung ergibt die Lösung für die andere Unbekannte.

Beispiel:1) 3x-4y= 5   => y=( 3/4)x-5/4
              2)  9x+3y=6   => y= -3x+2

                          y=y
               (3/4)x-5/4= - 3x+2   => x=13/15 diese Wert einsetzen in y=-3x+2  => y= -3(13/15)+2
                                                                                                                                  y= -3/5

Beispiel: 1) -3x +6y=10    =>  x=2y- 10/3
                2) 2x-4y=8         =>  x=2y+4
                        

 x=x    =>    2y-10/3=2y+4   =>  -10/3=4   wiederspruch! keine Lösung


Beispiel: 1) 3x-6y=12     => x=2y+4 }
                2)-4x+8y=-16  => x=2y+4 }   ist für alle y erfüllt
             y beliebig: x=2y+4  oder x beliebig y=0,5x-2



*Additionsmethode:
Bei der Additionsmethode werden beide Gleichungen so durchmultipliziert, dass bei der Addition ( Subhtaktion) dieser multiplizieren Gleichungen eine Unbekannte wegfällt.Dadurch entsteht eine Gleichung für eine Unbekannte.Aus einer der beiden Ausgangsgleichungen erhält man dann die Lösung für die andere Unbekannte.


Beispiele: 1) 2x+4y= 3      mal mit (3)
                  2) 1,5x+3y=2    mal mit (-4)

                  1) 6x+12=9
                  2) -6x-12y= -8
                               0=1    wiederspruch!   keine Lösung


Beispiele:1) 5x-7y=2   mal mit (6)
                 2)6x-8,4y=2,4 mal mit (-5)
                     30x-42y=12
                   -30x+42y= -12
                               0=0   ist für alle y erfüllt


                   
                               Lineare Gleichungen mit drei Unbekannten


Bei der linearen Gleichungen mit drei Unbekannten wird aus einer Gleichung einer Unbekannte durch die bei den anderen eliminiert.Dieser Ausdruck wird in die beiden anderen Gleichungen eingesetzt.Dadurch entstehen zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten.



Beispiel: 1) x+2y+z=8
                2) x-y+2z=5
                3) 2x+3y-3z= -1        aus 1) folgt x=8-2y-z   dieser Ausdruck einstzen in 2) und 3)


                2) (8-2y-z)-y+2z=5   =>      -3y+z= -3
                3) 2(8-2y-z)+3y-3z= -1 =>  -y -5z= -17 mit (-3)
                                                             -3y+z= -3
                                                              3y+15z=51
                                                                      z=3


y=17-5z=2      =>  y=2
x=8-2y--z=1   =>  x=1 
   


Beispiel:1) -x-3y+4z=8   =>    x= -3y+4z-8
               2) 2x+y-3z=5    =>  2(-3y+4z-8)-3z=5       => -5y+5z=21  mal mit (-3)
               3) 4x-3y-z=10   =>  4(-3y+4z-8)-3y-z=10  => -15y+15z=42
                                                                                          45y-15z= -63
                                                                                         -15y+15z=42
                                                                                                    0= -21    keine Lösung


Falls ein lineares Gleichungssystem ein einzige Lösung liefert, sollte diese Lösung durch Einsetzen in alle gegebenen Gleichungen überprüft werden.Es genügt nicht, die Probe mit einer einzigen Gleichung durchzuführen.Wenn zB bei zwei Gleichungen für zwei Unbekannte mit einem falschen y Wert der x Wert aus der ersten  Gleichung berechnet wird, so stimmt die Probe diese Gleichung, obwohl y und vermutlich x falsch sind.Der Fehler wird erst bei der Probe mit der zweiten Gleichung erkennbar.
Für eine Kurzprobe können alle Gleichungen addiert werden.Dann wird ein Fehler zwar nicht immer, jedochin den meisten Fällen erkennbar.

LN FUNKTIONEN EIGENSCHAFTEN

Die ln-Funktion wird auch als natürliche Logarithmusfunktion bezeichnet.

                           f(x)= ln(x) = loge(x)

Die natürliche Logarithmusfunktion ist eine Logarithmusfunktion mit der Basis e (e ist Eulersche Zahl e=2,7182818...)

Wichtige Eigenschaften Der LN Funktion: 1) Nullstelle: ln(1) = 0

                                                                2) x→0 ⇒ lnx→−∞
                               

                                                                           
                                                               
                                                                3) Definitionsbereich
                                                                  D = R+
                                                        
                                                                4) ( ln (x) )' = 1. 1/x = 1/x
                                                                   Ableitung der Funktion

                                                                5) Der Grapf ln(x) streng monoton steigend
                                                                  Wenn eine Ableitung der Funktion immer positiv ist,
                                                                  ist Funktion immer steigend.

                                                                6) ln(e) = 1     e = 2,7182818...

Mit den verschiedenen Aufgaben , kann man die LN FUNKTION besser lernen.

** Bestimmen Sie den Definitionsbereich und geben Sie die Nullstellen an **

a)        f(x) = (x²-4).ln(2x-1)

Bei der Nullstellenberechnung achten wir besonders auf die Produktschreibweise, um die Faktoren einzeln Null zu setzen.

0 = (x²-4).ln(2x-1)              1. Faktor: 0 = x²-4   x = -2     und     x = +2
                                           2. Faktor: 0 = ln(2x-1)        Argument (2x-1) = 1     NUR  LN(1) ergibt  0
                                                                                                      2x-1 = 1 , x = 1

Überprüfen wir den Sachverhalt lieber noch einmal:

f(+2)=(2²-4).ln(2.2-1)=0.ln(3)=0  OK!

f(-2)=((-2)²-4).ln(2.(-2)-1)=0.ln(-5)  DIE  LN  FUNKTION IST NUR FÜR POSITIVE ARGUMENTE DEFINIERT!!!  Deswegen ist ln(-5) nicht definiert.
                                                 
Wir haben den Definitionsbereich missachtet.Auch wenn die Nullstelle von einem ganz anderen Funktionsteil stammt- muss man sie überall für x einsetzen können.

Für die Definitionsmenge: Bedingung: 2x-1 > 0     D(f)=(x ,R; x >  1/2 )        Diese Bedingung wird aber  von der Nullstellen  x = -2    nicht erfüllt. Die einzigen Nullstellen sind also  x = +2  und  x =1  


b) f(x) = 2.ln(x+1)      Definitionsbereich : x+1 > 0       x > -1
                                 
                                  Nullstellen            : 2.ln(x+1) = 0      x+1=1     x = 0


c) f(x) = -x + ln(1-x)    Definitionsbereich : 1-x > 0       x < 1

                                  Nullstellen            : f wird in zwei Teilfunktionen zerlegt.
                                                               g(x) = -x        h(x) = ln(1-x)            einzige Lösung x= 0

d) fx) = x.ln(x² + 1)    Definitionsbereich   : x² + 1 > 0     x² > -1   D(f) = { }

                    Nullstellen             : x.ln(x² + 1) = 0                x=0   und    x² + 1= 1  x=0

e) fx) =ln(x+1)/2        Deinitionsbereich    : { x Î R ; x > -1 }     x +1 > 0  x >-1

                       

                      

Nullstellen              :   0 =ln(x+1)/2         ln(x+1) = 0

                                                                                                   = 1                x+1=1    x=0

f) f(x) = - ln( -x² )       Definitionsbereich   :  - x² > 0    nicht möglich   D(f) ={  }

                                  Nullstellen              :  0= - ln(- x² )   Argument muss immer  > 0  sein

                                                                                         Keine Nullstelle !

g) f(x) = ln (x² -1)/(x+1)   Definitionsbereich : x² -1 > 0   x² >1    x= ± 1


x+1¹0       x¹ -1   Deswegen -1 enfällt

                                   Nullstellen              : ln(x²-1)/(x+1) = 0     ln( x²-1) = 0

                                                                                                    =1          x²-1 =1 

                                                                                                                        x=  ± 2

 h) fx) = 1/1-ln x²             Definitionsbereich : lnx² ¹ 1    x²¹e       x ¹ ±e

                                        Nullstellen : 0=1/1-ln x²     1¹lnx²     1¹x²    x ¹ ±1  Keine Lösung!!

Bis hier haben wir für eine Funktionsuntersuchung Nullstellen und Definitionsbereich erklärt.Für eine Funktion brauchen wir mehr zB.Ableitung

**Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung und fassen Sie die Funktiosterme weitsgehend zusammen.**

a) f(x)=2x+ln(x+1)        b) f(x)=x.ln2x                c) f(x)=1/2.ln(x²)                       d) f(x)=1/x+lnx²

 

    f(x)'=2+1/x+1              f(x)'=ln2x+1/x               f(x)'=1/2.1/x².2x=1/x              f(x)'= 2x-1/x^2

e) f(x)=1+ln(x²-2x)        f) f(x)=1/lnx

    f(x)=2x-2/x²-2x           f(x)'=-1/x.(lnx)²

**Lösen Sie die Gleichungen **

Häufig ist es sinnvoll,beim Lösen von Gleichungen den Logarithmus wieder als Potenz zu schreiben.Die Gleichung sollte vereinfacht werden falls möglich.Beim überprüfen der Lösungen stellt man fest, dass einige entfallen,weil die Probe nicht funktioniert.

a) lnx=0,5       x=e^1/2           ^ bedeutet Hoch)

                       x» 1,65

 

b) 2.ln(x+1)=4      
 e^(lnx+1)²=e^4           (x+1)^2=4     x+1 = e^2        x=e^2- 1          x»6,39