WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG

• Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

1. Spricht man von Wahrscheinlichkeiten, so erfolgt dies immer im Zusammenhang mit irgendwelchen Ereignissen, die unter bestimmten Bedingungen eintreten können, aber nicht eintreten müssen, bei denen also mehrere Ausgänge möglich sind.
2. Solche Ereignisse werden als zufällige Ereignisse bezeichnet.
3. Wahrscheinlichkeit: Maß für das Eintreten von Ergebnissen bei Zufallsversuchen.
4. ( Ω ) Ergebnisraum :Eine Menge , welche alle Elementarereignisse eines Zufallsexperiments enthält.

( Ω )= Alle Elementarereignisse

Das Elementarereignis wird auch als Ergebnis bezeichnet.Besondere Ereignisse sind das "unmögliche Ereignes" und   "das sichere Ereignes" ist die leere Menge.

DEFINITION: Wahrscheinlichkeit ordnet dem eintreten eines Ereignisses einen numerischen Wert zwischen 0 und 1 zu.Je näher die Wahrscheinlichkeit an der Zahl 1 ist, desto eher wird das Ereignes eintreten.


• Ist die Wahrscheinlichkeit gleich 1 , so wird das Ereignes garantiert eintreten. Man spricht von einem sicheren Ereignes.
• Ist die Wahrscheinlichkeit gleich 0 , so wird das Ereignes nicht eintereten. Man spricht von einem unmöglichen Ereignes.

In der Mathematik werden Angaben über die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses über die Schreibweise P ( A ) = 0,1  gemacht
P englische Wort probility
A das Ereignes
0,1 numerische Wert für das Eintreten

 

Zufallsexperiment:

Zufällige Ereignisse entstehen als ERGEBNIS von Zufallsexperimenten.Es gibt bestimmte Bedingungen für ein Zufallsexperiment:

1. Das Experiment ist beliebig oft unter den gleichen Bedingungen durchführbar
2. Die Ausgänge sind eindeutig angebbar
3. Es ist nicht vorhersagbar , welcher Ausgang des Experiments eintritt

Zufallsexperimente:

• Werfen einer Münze
• Würfeln mit einem ( idealen) Spielwürfel
• Drehen an einem Glücksrad
• Spielstituationen
• Simulationen mit dem Computer

Asymmetrische Zufallsgeneratoren:  Es liegt eine Ungleichverteilung der möglichen Versuchausgängen zugeordneten Wahrscheinlichkeiten vor

• Reißzwecke
• Gezinkter Würfel
• Urnen mit unterschiedlichen großen Kugeln

Absolute und relative Häufigkeit:

Absolute Häufigkeit eines Ereignisses H( E ) = Gibt an, wie oft das Ereignes E nach n Wiederholungen eingetreten ist ( ANZAHL )

Man kann auch die Wahrscheinlichkeit auch mit der relativen Häufigkeit berechnen. Relative Häufigkeit gibt an, h(E) =Anzahl, wie oft E eingetreten ist / Anzahl der Wiederholungen =ANTEIL

                                        

 Beispiel: Ein Würfel wird 40- mal geworfen , mit folgendem Ergebnis

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

relative Häufigkeit=  

Zur Kontrolle , ob wir die relativen Häufigkeiten richtig berechnet haben, addieren wir alle relative Häufigkeiten

0,075 + 0,175 + 0,2 + 0,225 + 0,125 + 0,2 =  1

 

 Die Summe aller relative Häufigkeiten ergibt 1 !!!!!

 

BAUMDIAGRAMM

Mehrstufige Zufallsexperiment

Man wirft erst eine Münze und anschließend einen Würfel.

Die Elementarereignisse könnten dann

Wappen, 1

Wappen, 2

Wappen, 3

Wappen, 4

Wappen, 5

Wappen, 6

 

Zahl, 1

Zahl, 2

Zahl, 3

Zahl, 4

Zahl, 5

Zahl, 6

 

 

 

 

 

Urne mit zwei roten und einer blauen Kugel

 

 

 

 

 

 

Das Baumdiagramm  hilft nicht nur einfach bei der Darstellung des Problems, sondern auch bei der Berechnung.

1. PFADREGEL:Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist gleich dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm.

Wahrscheinlichkeit {rot, blau}=2/3.1/2=2/6=1/3

2. PFADREGEL:Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem mehrstufugen Zufallsexperiment ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade.

Wahrscheinlichkeit {rot, blau},{rot,rot}= 1/3 + ( 2/ 3 . 1/ 2)=1/3 + 1/3= 2/3

 

 

 

 

 

 

 

DAS URNENMODEL:

 

 

Viele Zufallsexperimente können mit dem Ziehen von unterschiedbaren Kugeln aus einem Gefäß, Urne genannt , modelliert werden.

 

Das Ziehen kann auch zwei verschiedene Arten erfolgen:

• Eine Kugel wird gezogen und wieder zurück gelegt. Das nennt man mit Zurücklegen
• Nach dem Ziehen der Kugel wird diese nicht wieder zurückgelegt. Das nennt man ohne Zurücklegen

BEISPIEL:

• Urne mit 6 Kugeln nummeriert von 1 bis 6. Zweimal ziehen mit Zurücklegen

Gesuchte Wahrscheinlichkeit  P ( 6/6 ) = 1/6 . 1/6 =1/36 ≈ 0,028

 

 

• Urne mit 120 Kugeln. Davon sind 102 weiße 18 schwarze.Wir suchen die Wahrscheinlichkeit von schwarze Kugeln, die hintereinander ohne zurückziehen gezogen sind.

P ( s/ s ) = 18/120 .17/119 = 51/2380 ≈ 0,021