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Grundlagen zu Vektoren

Zu einem beliebigen Punkt im dreidimensionalem Raum ( $x_1|x_2|x_3$ ) bzw. ( $x|y|z$ ), z.B. $P( 6 | 7 | 4 )$ , gelangt man, indem man vom Nullpunkt des Koordinatensystems 6 Einheiten in $x$ -Richtung, 7 Einheiten in $y$ -Richtung und dann 4 Einheiten in $z$ -Richtung geht. Hier noch besondere Punkte.
In 2D gilt: analytische geometrie grundlagen

Alle Punkte auf der $y$ -Achse haben den $x$ -Wert 0! $P_y(0|y)$
Alle Punkte auf der $x$ -Achse haben den $y$ -Wert 0! $P_x(x|0)$

In 3D gilt: analytische geometrie grundlagen 3D

Alle Punkte in der $x_1x_2$ -Ebene haben den $x_3$ -Wert 0! $P(x_1|x_2|0)$
Alle Punkte in der $x_2x_3$ -Ebene haben den $x_1$ -Wert 0! $P(0|x_2|x_3)$
Alle Punkte in der $x_1x_3$ -Ebene haben den $x_2$ -Wert 0! $P(x_1|0|x_3)$
Vom Punkt zum Vektor
Ein Vektor beschreibt eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum. Aus zwei Punkten im 3-dimensionalem Raum $A(a_1|a_2|a_3)$ und $B(b_1|b_2|b_3)$ erhält man den Vektor

Grafisch wird der Vektor durch einen Pfeil dargestellt, der vom Punkt $A$ zum Punkt $B$ zeigt. Ein Vektor gibt somit die Verschiebung eines Punktes an!

Unterschied Ortsvektor/Richtungsvektor
Ist $O(0|0)$ der Koordinatenursprung und $P(5|2)$ ein Punkt, so heißt der Vektor $\overrightarrow{OP} = \vec{p} = \left( \begin {array} {c}5-0\\2-0 \\\end {array} \right) = \left( \begin {array} {c}5 \\2 \\\end {array} \right)$ Ortsvektor zum Punkt $P$ .

Richtungsvektoren können jeden Punkt als Startpunkt haben, während Ortsvektoren immer vom Koordinatenursprung ausgehen. Zum Beispiel lautet der Richtungsvektor zwischen $A(2|4)$ und $B (7|2)$ :

$\begin{align*}g \overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 7-2 \\ 2 - 4 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5 \\ -2 \end{array} \right). \notag \end{align*}$
Zwei Richtungsvektoren sind identisch, wenn sie gleich lang sind und die gleiche Richtung haben. Im dreidimensionalem Raum werden Orts- und Richtungsvektoren genau wie im zwei-dimensionalen aufgestellt. Einziger Unterschied ist die zusätzliche Koordinate $x_3$ (oder $z$ ).

Länge eines Vektors
In kartesischen Koordinaten kann die Länge von Vektoren nach dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Gegeben sei Vektor $A= (2 , 1 , 4)^T$ – Hinweis: Schreibweise mit „hoch $T$ “ (Transponierte einer Matrix) ist oft platzsparender! Bitte nicht verzweifeln, es gilt:

$\begin{align*} A= (2 , 1 , 4)^T = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array} \right), \notag \end{align*}$
dann wird die Länge über $|A|= \sqrt{2^2 + 1^2+ 4^2}$ bestimmt. Oder allgemein mit

$\begin{align*} a = |\vec{a}| = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}. \notag \end{align*}$
Alternativ kann die Länge auch als die Wurzel des Skalarprodukts angeben werden:

$\begin{align*} a = |\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}\bullet \vec{a}}. \notag \end{align*}$
Vektoren der Länge 1 heißen Einheitsvektoren oder normierte Vektoren. Hat ein Vektor die Länge 0, so handelt es sich um den Nullvektor.

Rechnen mit Vektoren
Addieren/Subtrahieren – Rechenregel gilt für $+$ und $-$ , kurz: $\pm$
$\begin{align*}\vec{a} \pm \vec{b} =\left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right) \pm\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) &=\left( \begin{array}{c} a_1 \pm b_1 \\ a_2 \pm b_2 \\ a_3 \pm b_3 \end{array} \right) \notag \\ \notag \\\textrm{z.B.} \quad\left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 5 \end{array} \right) +\left( \begin{array}{c} 8 \\ 1 \\ -3 \end{array} \right) &=\left( \begin{array}{c} 2+8\\ -1+1 \\ 5+(-3) \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} 10\\ 0 \\ 2 \end{array} \right) \notag\end{align*}$

Grafisch kann man sich das wiefolgt veranschaulichen. Merkt euch: Es spielt keine Rolle, ob ihr $\vec{a}+\vec{b}$ oder $\vec{b}+\vec{a}$ rechnet. Es kommt immer das gleiche raus!
Vektoren addieren

Mit Zahl (Skalar) multiplizieren – Länge des Vektors ändert sich! Richtung bleibt gleich.
$\begin{align*} 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end {array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 2 \end {array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \end {array} \right) \notag \end{align*}$

Skalarprodukt: Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt, selten Punktprodukt) ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet. Achtet auf die Unterscheidung des Malzeichens „ $\cdot$ “ und des Skalarproduktes „ $\bullet$ „. Zudem ist es für die Berechnung von Winkeln zwischen Vektoren sinnvoll. Als allgemeines Rechenbeispiel folgt:
$\begin{align*} \vec a \bullet \vec b = a_1 \, b_1 + a_2 \, b_2 + a_3 \, b_3. \notag \end{align*}$
Jetzt mal als Zahlenbeispiel:

$\begin{align*} \left( \begin {array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) &\bullet \left( \begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right) = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 4 + 3 \cdot 1 = 9 \notag \\ \left( \begin {array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) &\bullet \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right) = -2+0+2 = 0 \notag \end{align*}$
Achtung: Wenn $0$ raus kommt, dann sind die beiden Vektoren orthogonal/senkrecht zueinander!

Wofür wir das Skalarprodukt eigentlich brauchen:

$\bullet$ Winkelberechnung in der Ebene:
$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \ \bullet \ \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{a_1\ \cdot \ b_1 \ + \ a_2 \ \cdot \ b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\ \cdot \ \sqrt{b_1^2 +\ b_2^2}}$

$\bullet$ Winkelberechnung im Raum:
$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \ \bullet \ \vec{b}}{|\vec{a}|\ \cdot \ |\vec{b}|} = \frac{a_1\ \cdot \ b_1 \ + \ a_2 \ \cdot \ b_2 \ + \ a_3 \ \cdot \ b_3}{\sqrt{a_1^2 \ + \ a_2^2 \ + \ a_3^2}\ \cdot \ \sqrt{b_1^2 \ + \ b_2^2 \ + \ b_3^2}}$

$\bullet$ Orthogonalität:
Wenn $\vec{a}$ und $\vec{b}$ orthogonal sind, dann gilt: $\vec{a} \bullet \vec{b} = 0$ .

$\bullet$ Ermittlung eines Normalenvektors:
Bedingungen für einen Normalenvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind:
$\vec{n} \bullet \vec{a} = 0$ und $\vec{n} \bullet \vec{b} = 0$

Kreuzprodukt/Vektorprodukt: Das Kreuzprodukt der Vektoren $1$ und $2$ ist ein Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht und mit ihnen ein Rechtssystem bildet. Zahlenbeispiel:
$\begin{align*} \left( \begin {array}{c} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin {array}{c} 3 \cdot 3 - 4 \cdot (-2) \\ 4 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot (-2) - 3 \cdot 1 \end{array} \right) = \left( \begin {array}{c} 17 \\ -2 \\ -7 \end{array} \right) \notag \end{align*}$
Wichtig: Die Länge dieses Vektors entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Vektoren $1$ und $2$ aufgespannt wird. Um zu überprüfen, ob wir richtig gerechnet haben, müsste das Skalarprodukt vom Vektor des Kreuzproduktes mit den zwei einzelnen Vektoren 0 ergeben:

$\begin{align*} \left( \begin {array}{c} 17 \\ -2 \\ -7 \end{array} \right) \bullet \left( \begin {array}{c} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) = 34-6-28=0 \quad \checkmark \notag \\ \left( \begin {array}{c} 17 \\ -2 \\ -7 \end{array} \right) \bullet \left( \begin {array}{c} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array} \right) = 17+4-21=0 \quad \checkmark \notag \end{align*}$
Es besteht damit die Möglichkeit, das Kreuzprodukt als Berechnung des $\vec{n}$ -Vektors einer Ebene zu benutzen.
Allgemein gilt:

$\begin{align*} \vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}\,. \notag \end{align*}$
Weiterer Hinweis: Die Kombination von Kreuz- und Skalarprodukt in der Form

$\begin{align*} (\vec{a} \times \vec{b}) \bullet \vec{c} \notag \end{align*}$
wird als Spatprodukt bezeichnet. Das Ergebnis ist eine Zahl, die dem orientierten Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Spats entspricht.

Anwendung

$\bullet$ Normalenvektor finden bei der Umwandlung von Ebenengleichungen in der Parameterform in die Koordinaten- oder Normalenform.

$\bullet$ Abstandsformel windschiefer Geraden.

$\bullet$ Flächeninhaltsberechnung von zwischen Vektoren aufgespannten Flächen.

Mittelpunkt einer Strecke

Gegeben sei die Strecke, die durch die Punkte $A$ und $B$ begrenzt wird. Gesucht sind die Koordinaten des Punktes $M$ , der genau in der Mitte zwischen $A$ und $B$ liegt. Um diesen zu berechnen, muss man sich einer einfachen Formel bedienen:

$\begin{align*} &(2D) \ \ \ M \left( \frac{a_1 + b_1 }{2}\ | \ \frac{a_2 + b_2 }{2} \right) \notag \\ &(3D) \ \ \ M \left( \frac{a_1 + b_1 }{2}\ | \ \frac{a_2 + b_2 }{2}\ | \ \frac{a_3 + b_3 }{2} \ \right) \notag \end{align*}$

Beispiel: Berechne den Mittelpunkt der Punkte $A = (2|4|3)$ und $B=(10|16|5)$ .

$\begin{align*} M_{AB} = \left( \frac{2 + 10 }{2} \ | \ \frac{4 + 16 }{2} \ | \ \frac{3 + 5 }{2} \right) = (6 | 10 | 4) \notag \end{align*}$

Einschub – Formel Schwerpunkt Dreieck: $\overrightarrow{0S} = \frac{1}{3}( \overrightarrow{0A} + \overrightarrow{0B} + \overrightarrow{0C})$

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren

Bevor wir uns angucken, wie man lineare Abhängkeit bzw. Unabhängigkeit nachweist, soll uns die folgende Abbildung zunächst einen Überblick geben, was für Fälle auftreten können. Wichtige Begriffe hierbei: Kollinear und Komplanar. Vektoren: Komplanar, Kollinear

Wenn wir also nachweisen, dass zwei Vektoren kollinear bzw. drei Vektoren komplanar sind, wissen wir, dass die Vektoren linear abhängig sind.
Beispiel mit zwei Vektoren Die zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind linear abhängig, da sie Vielfache voneinander sind (kollinear). Es gilt:

$\begin{align*} 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end {array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \end {array} \right) \notag \end{align*}$

Allgemeiner Ansatz bei der Untersuchung von zwei Vektoren aus $\mathbb{R}^2$ :

$\begin{align*} \vec{a}= r \cdot \vec{b} \Rightarrow \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \end {array} \right) = r \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end {array} \right) \Leftrightarrow \begin{array}{c} 4=2r \\ 4=2r \\ 4=2r \end {array} \Leftrightarrow \begin{array}{c} 2=r \\ 2=r \\ 2=r \end {array} \end{align*}$

Nun prüft man zeilenweise die Einträge und bestimmt jeweils $r$ . Mögliche Lösungen:

Wenn unterschiedliche Werte für $r$ rauskommen, dann sind die Vektoren nicht kollinear und damit linear unabhängig.
Wenn für $r$ überall das Gleiche rauskommt, dann sind die Vektoren kollinear und linear abhängig.

Wenn wir zeigen müssen, ob drei Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ aus $\mathbb{R}^3$ linear abhängig sind oder nicht, sehen wir entweder auf Anhieb, ob sich einer der Vektoren aus den anderen Vektoren darstellen lässt (komplanar), siehe dazu das Beispiel mit zwei Vektoren, oder wir arbeiten mit dem allgemeinen Ansatz, welcher immer zum Erfolg führt:

$\begin{align*} r\cdot \vec{a}+s\cdot \vec{b}+t\cdot \vec{c} = \vec{0} \end{align*}$

Die zu untersuchende Gleichung ist äquivalent zu einem LGS, das man mit dem Gauß-Verfahren lösen kann. Mögliche Ergebnisse:

$r=s=t=0$ , dann sind die Vektoren nicht komplanar und damit linear unabhängig
Wahre Aussage, z.B. $0=0$ , dann sind die Vektoren komplanar und linear abhängig

Beispiel mit drei Vektoren Gegeben sind die Vektoren

$\begin{align*} \vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end {array} \right) \quad \vec{b}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 1 \end {array} \right) \quad \vec{c}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ 3 \end {array} \right), \end{align*}$

die auf lineare Abhängigkeit untersucht werden sollen. Wir nehmen den allgemeinen Ansatz zur Hand und erhalten ein LGS, welches wir an dieser Stelle mit dem Gauß-Algorithmus (siehe Kap. LGS lösen) lösen:

$\begin{align*} r\cdot \vec{a}+s\cdot \vec{b}+t\cdot \vec{c} = \vec{0} \quad \Rightarrow \quad \begin{array}{l} \textrm{I} \\ \textrm{II} \\ \textrm{III} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \end {array} \right) \begin{array}{l} \\ \textrm{II}-\textrm{I} \\ \textrm{III}-2\cdot\textrm{I} \end{array} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow \quad \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & 0 \\ 0 & -4 & 4 & 0 \\ 0 & -5 & 5 & 0 \end {array} \right) \begin{array}{c} \\ \\ \textrm{III}-5/4\cdot \textrm{II} \end{array} \quad \Rightarrow \quad \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & 0 \\ 0 & -4 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end {array} \right) \end{align*}$

Interpretation des Ergebnisses: Da eine Nullzeile vorliegt, besitzt das LGS unendlich viele Lösungen. Hättet ihr das LGS mit einem anderem Verfahren aufgelöst, wäre eine wahre Aussage wie z.B. $0=0$ rausgekommen, was das gleiche bedeutet. Infolgedessen sind die Vektoren $\vec{a}, \ \vec{b}$ und $\vec{c}$ linear abhängig!
Merke beim Gauß-Verfahren:

Nullzeile = Lineare Abhängigkeit
keine Nullzeile = Lineare Unabhängigkeit

Koordinatenebenen

Als Koordinatenebene bezeichnet man eine von zwei Einheitsvektoren aufgespannte Ursprungsebene. Im dreidimensionalen Raum gibt es drei Koordinatenebenen: die $xy$ -Ebene, die $xz$ -Ebene und die $yz$ -Ebene.
Im Folgenden seien die drei Koordinatenachsen des dreidimensionalen Raums $R^3$ mit $x_1$ , $x_2$ und $x_3$ bezeichnet. Die drei Koordinatenebenen werden häufig mit den Buchstaben $E$ gekennzeichnet, der mit zwei Indizes versehen wird, die die beiden Einheitsvektoren angeben, von denen die Ebene aufgespannt wird:

die $x_1x_2$ -Ebene $E_{12}$ wird von den Vektoren $\vec e_1$ und $\vec e_2$ aufgespannt
die $x_1x_3$ -Ebene $E_{13}$ wird von den Vektoren $\vec e_1$ und $\vec e_3$ aufgespannt
die $x_2x_3$ -Ebene $E_{23}$ wird von den Vektoren $\vec e_2$ und $\vec e_3$ aufgespannt

Hierbei sind die drei linear unabhängigen Einheitsvektoren $\vec e_1 = (1, 0, 0)^T$ , $\vec e_2 = (0, 1, 0)^T$ und $\vec e_3 = (0, 0, 1)^T$ .
Koordinatenebenen

Im Alltag begegnen uns sehr viele lineare Zusammenhänge. Sie zu bemerken und zu verstehen erleichtert uns das Leben in vielen Situationen.

Beispiel 1

Ein Handwerker nimmt 50 € pro Stunde. Außerdem lässt er sich die Anfahrt mit 40 € bezahlen.
Hier haben wir ein einfaches Beispiel einer linearen Funktion. Die 40 € bezeichnet man auch als Fixkosten, da sie unabhängig von der Arbeitszeit sind. Die 50 € sind die variablen Kosten, da diese davon abhängig sind, wie lange der Handwerker tatsächlich arbeitet. Wir können nun also eine lineare Funktion ermitteln, die die Kosten abhängig von der Arbeitszeit angibt. Am Ende können wir dann für x die gearbeiteten Stunden einsetzen und bekommen die gesamtkosten heraus (y).

Herleiten der linearen Funktion

Für eine lineare Funktion brauchen wir die Steigung und den y-Achsenabschnitt.

Y-Achsenabschnitt

Der y-Achsenabschnitt gibt in diesem Fall an, wieviel Geld der Handwerker bekommt wenn er 0 Stunden gearbeitet hat (x=0). Dieser Wert ist gleich 40 €, da er für die Anfahrt 40 € bekommt auch wenn er dann sofort wieder nach Hause fahren würde.

Steigung

Die Steigung gibt in diesem Fall an, um wie viel die Kosten pro Stunde steigen. Es handelt sich also um den Preis den der Handwerker pro Stunde nimmt. Auch diesen haben wir gegeben, er nimmt 50 € pro Stunde.
Unsere lineare Funktion lautet also:
Gesamtkosten = Stundenlohn • gearbeitete Stunden + Anfahrtskosten
f(x) = 50 • x + 40
Wenn wir diese Funktion zeichnen sieht sie folgendermaßen aus:
grafische Darstellung Beispiel 1

Mithilfe dieser Funktion können wir jetzt ganz bestimmen wieviel Geld der Handwerker für eine bestimmte Stundenanzahl erhält. Wir können die Lösung dabei grafisch ablesen oder sie mit der Funktionsvorschrift ausrechnen. Wenn wir die Lösung ganz genau wissen wollen, ist es besser den rechnerischen Weg zu gehen, da wir sie vom Grafen nur ungefähr ablesen können. Dafür setzen wir einfach die gearbeiteten Stunden für x ein und rechnen anschließend y aus.

Beispiel 2

Nach dem Regen ist eine Wassertonne mit 200 Litern gefüllt. Jeden Tag werden 40 Liter entnommen. Wie lange dauert es, bis die Wassertonne leer ist?

Herleitung der linearen Funktion

Y-Achsenabschnitt

In diesem Fall haben wir einen y-Achsenabschnitt von 200 Litern. Dieser Wert entspricht der Wassermenge zum Zeitpunkt t=0, also am Anfang der Betrachtung. a ist also gleich 200 Liter.

Steigung

Es ist angegeben, dass der Tonnen 40 Litern pro Tag entnommen werden. Es handelt sich hierbei also um die Steigung. Da der Tonne aber 40 Liter entnommen werden, handelt es sich um eine negative Steigung. Das Wasser wird also von Tag zu Tag weniger. b ist also gleich -40 Liter pro Tag.
Unsere lineare Funktion lautet also:
Wassermenge = Wasserveränderung (pro Tag) • Anzahl Tage + Anfangsmenge

Damit ist die Aufgabe allerdings noch nicht gelöst. Da die Frage ist, wie viele Tage es dauert, bis die Tonne leer ist, müssen wir noch ausrechnen wie viele Tage vergehen ehe der Funktionswert 0 ist. Zu diesem Zweck setzen wir die Funktion gleich 0 und formen sie zu x um:
Rechnung Beispiel 2 Schritt 2