POLYNOMFUNKTIONEN ( 3. GRAD )

Die Funktionsgleichung lautet : x³+x²+x
 Am ende der Gleichung haben wir keine Zahl ohne Variable. Das bedeutet ; die Funktion verläuft durch den Ursprungspunkt, keine y-Achse Schnittpunkt

Die Funktion ist : x³+x+1            Dieses Mal haben wir am Ende der Gleichung 1 ( ohne Variable) Diese 1 ist y-Achse schnittpunt. Die Funktion verläuft durch diesen Punkt.

Die Funktion verläuft durch 1 ( y- Achse Schnittpunkt)

Die Funktionsgleichung hat keine Zahl ( verläuft durch  im Ursprung

spunkt)





 

Wir sehen nun alle Grapfen  , die vorher gezeichnet haben 

Aussagen mit spezieller Gültigkeit für Polynomfunktionen

· Eine Polynomfunktion n-Grades hat maximal n reelle Nullstellen.

· Diese Anzahl kann sich jeweils um Vielfache von 2 verringern (komplexe Lösungen).

· Polynomfunktionen von ungeradem Grad haben somit immer mindestens eine reelle

Nullstelle.





· Eine Polynomfunktion n-Grades kann maximal n-1 Extremwerte aufweisen

[Schnellbestimmung des Grades durch Zählen der Extremwerte].

· Zwischen zwei Nullstellen muß mindestens ein Extremwert liegen.

· Eine Polynomfunktion n-Grades kann maximal n-2 Wendepunkte aufweisen.

Was ist eigentlich ein Polynom ?

Ein Polynom ist eine Summe von Potenzfunktionen.

Der höchste Exponent, der vorkommt, heißt Grad des Polynoms.

• Polynome 1. Grades sind die Geraden

• Polynome 2. Grades sind die Parabeln

• Polynome 3. Grades haben immer eine symmetrische s-Form.

• Polynome 4. Grades haben höchstens 3 Extrema.

• Je höher der Grad, desto vielfältigere Formen sind möglich

Polynome und ihre Linearfaktoren

Jede reelle Nullstelle a

erzeugt einen Linearfaktor.(x - a)

f (x) = (x-a) q(x)

Wenn das Restpolynom auch noch die Nullstelle a

enthält, kann man den Linearfaktor mehrfach „herausziehen“.

f(x)=(x-k)^k.p(x)  mit p(x) ist nicht  gleich 0

 

Geht das maximal k-mal, dann heißt k-fache Nullstelle,



oder „Nullstelle der Vielfachheit k“

In der Nähe eine k fachen-Nullstelle verhält sich das Polynom

wie sich die k-Potenzfunktion im Ursprung verhält. Unsere Bsp lautet:x³+x²+x+1

wir versuchen dieses Polynom um Linearfaktor zu zerlegen

(x²+1).(x+1)   x+1=0 x=-1 nur eine Nullstelle
 Potenz 3 (ungerade),Vorzeichen plus,

Das ist allgemeine Zeichnung:
 

 Beispiel:


 

WAHRSCHEINLICHKEITS AUFGABEN MIT LÖSUNGEN

Beispiel: Dreifacher Münzwurf

Bei jedem Wurf gibt es zwei Möglichkeiten, Kopf K oder Zahl Z. Insgesamt ergeben

sich 2⋅2⋅2 = 2³ = 8 Möglichkeiten, die sich im Baumdiagramm übersichtlich

darstellen lassen.

Der Baum besteht aus Knoten und Ästen , die je zwei Knoten miteinander
verbinden. Die Endknoten werden Blätter genannt. Jeder Baum beginnt mit

dem Startknoten (Anfangsknoten oder Wurzel) und endet mit den Blättern.

Ein Weg vom Startknoten zu einem Blatt heißt Pfad .

Die Wahrscheinlichkeit „erst Kopf, dann Zahl und dann Kopf zu werfen“ beträgt

1/2  . 1/2 . 1/2 = 1/8 = 0,125 = 12,5 %         ( PFAD - MULTIPLIKATIONSREGEL )



Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „genau zweimal Zahl zu werfen“ beträgt

1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375 = 37,5 %       ( PFAD - ADDITIONSREGEL )

Beispiel: Es werden zwei Würfel geworfen.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt ein Sechserpasch?

Lösung mit Teilbaum:

Bei jedem Wurf ist hierbei nur das Ereignis „Es fällt eine 6“ und das

Gegenereignis „Es fällt keine 6“ dargestellt.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Sechserpasch beträgt 

1/6 . 1/6 = 1/36 = 0,027 = 2,78 %



 Beispiel:

Die drei Glücksräder drehen sich gleichzeitig. Dreimal die Ziffer 3 gewinnt

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (Gewinnchance), dass alle drei Glücksräder dieZiffer 3 anzeigen?

 b) Dreimal die gleiche Ziffer gewinnt. Wie groß ist die Gewinnchance?







 

Lösung mit Teilbaum:

a)

 

Die Gewinnchance für „dreimal die Ziffer 3“ beträgt:
P(3;3;3)=1/9 . 1/9 . 1/9 ~ 1/729 ~ 0,14 %

b)




 

Die Gewinnchance für „dreimal eine gleiche Ziffer Z“ beträgt:
                                                     
P( Z;Z;Z)= 1/9 .1/9 . 1/9 = 1/729=0,14 %

Da die Gewinnchance für jede der 9 Ziffern gleich groß ist, folgt für die Gewinnchance

„dreimal die gleiche Ziffer“ gewinnt:

P(dreimal eine gleiche Ziffer) =1/729+1/729+1/729+1/729+1/729+1/729+1/729+1/729+1/729=9/729

9/729 ≈1,2 %


Beispiel:

Peter bietet seinem Bruder Paul folgende Wette an:

„Wenn bei drei Würfen mit einer 1-Euro-Münze mindestens zweimal Zahl fällt, mache ich

deine Hausaufgaben, sonst machst du meine Hausaufgaben.“

Soll Paul darauf eingehen?

a) Vervollständige das Baumdiagramm.

b) Schreibe alle Ausgänge zu dem Ereignis „mindestens zweimal Zahl“ auf.

c) Ermittle die Wahrscheinlichkeit zum Ereignis „mindestens zweimal Zahl“.

a)

b)
(Z,Z,Z), (Z,Z,W), (Z,W,Z), (W,Z,Z).

c)
P(mindestens zweimal Zahl) =1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 =4/8 = 1/2 = 50 %
 

Beispielaufgabe mit vereinfachtem Baumdiagramm (Ereignis – Gegenereignis)

 Ein Würfel wird dreimal nacheinander geworfen.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit würfelt man dabei

a) keine Sechs?

b) genau eine Sechs?

b) höchstens eine Sechs?

d) mindestens eine Sechs?

Lösung zu Aufgabe  mit Hilfe des Baumdiagramms:

a) „Keine Sechs“ wird mit einer Wahrscheinlichkeit von

125/216= 0,5787 = 57,87 %

b)„Genau eine Sechs“ wird mit einer Wahrscheinlichkeit von
 25/216 + 25/216 + 25/216 = 75/216 = 0,3472 = 34,72 %


c) „Höchstens eine Sechs“ wird mit einer Wahrscheinlichkeit von
125/216 + 25/216 + 25/216 + 25/216 = 200/216 = 0,9259 =92,59 %

d) „Mindestens eine Sechs“ wird mit einer Wahrscheinlichkeit von
1/216 + 5/216 + 5/216 + 25/216 + 5/216 + 25/216 + 25/216 =91/216 = 0,41129 ≈ 42,13 %

ODER:

1 - 125/216 = 1 - 0,5781 = 0,4213 = 42,13 %    
(Gegenereignis zu „keine Sechs“) gewürfelt.

Aufgaben – zusammengesetzte Zufallsexperimente

1) Ein Würfel wird 4-mal geworfen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit nur Fünfen oder nur Sechsen zu werfen?

 LÖSUNG:
                      

P(5, 5, 5, 5) =1/6.1/6.1/6.1/6 = 1/1296

P(6, 6, 6, 6) =1/6.1/6.1/6.1/6 = 1/1296

P((5, 5, 5, 5) oder (6, 6, 6, 6)) = 1/1296 + 1/1296 = 1/648  ≈ 0,15 %


2) Eine Urne enthält 3 schwarze und 5 weiße Kugeln. Zwei Kugeln werden nacheinander mit

(ohne) Zurücklegen gezogen.

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, zweimal eine schwarze Kugel zu ziehen.

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel schwarz ist. 
LÖSUNG:

Mit Zurücklegen (S steht für eine schwarze, W für eine weiße Kugel): 

 a) Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei schwarze Kugeln gezogen werden, beträgt:

3/8.3/8=9/64= 14,1 %


b) Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite gezogene Kugel schwarz ist, beträgt:
9/64+15/64= 3/8= 37,5 %

Ohne Zurücklegen (S steht für eine schwarze, W für eine weiße Kugel):

a) Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei schwarze Kugeln gezogen werden, beträgt:
3/8.2/7= 6/56= 10,7 %

b) Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite gezogene Kugel schwarz ist, beträgt:
6/56+15/56=21/56=3/8= 37,5 %

3) Von 10 Zahlen sind 5 positiv, 5 negativ. Zwei Zahlen werden zufällig ohne Zurücklegen

gewählt und miteinander multipliziert.

Ist ein positiver oder ein negativer Produktwert wahrscheinlicher?

LÖSUNG:

(p steht für eine positive, n für eine negative Zahl)

 

Ein positiver Produktwert tritt bei den Ergebnissen p p und  n n ein.

Die Wahrscheinlichkeit für einen positiven Produktwert beträgt: 2/9+2/9= 4/9

 Ein positiver Produktwert tritt bei den Ergebnissen p n   und  n p  ein.

Die Wahrscheinlichkeit für einen negativen Produktwert beträgt: 5/18+5/18= 10/18=5/9
 1. Ein Skatspiel besteht aus 32 Karten

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die Pik-Dame zu ziehen?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Kreuzkarte zu ziehen?

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen roten König zu ziehen?

d)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ein As zu ziehen?

e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Bildkarte (B, D, K) zu ziehen? 

        

2.  Bei dieser Aufgabe geht es um das Roulettespiel      

• a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote Zahl gezogen wird?
• b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass weder eine rote noch eine schwarze Zahl gezogen wird?
• c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl gezogen wird?
• d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl zwischen 1 und 12 gezogen wird?
• e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine der Zahlen gezogen wird, die übereinander auf der linken Seite angeordnet sind (1 – 4 – 10 – ...)?

 

3. In einem undurchsichtigen Gefäß befinden sich wie abgebildet Kugeln. Bestimme mit Hilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, bei zweimaligem Ziehen

a) zwei rote Kugeln zu ziehen.
b) eine rote und eine gelbe Kugel zu ziehen,
c) zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe zu ziehen.
Es soll stets gelten, dass zuerst gezogene Kugel nach der Ziehung wieder in das Gefäß zurückgelegt wird.

  

 LÖSUNG

WAS IST TRIGONOMETRIE ?

Was bedeutet das Wort Trigonometrie und mit was beschäftigt sich die Trigonometrie ?

Eine kleine Information:

TRI : bedeutet   'drei'

GON : bedeutet  'Winkel ' /  ' Eck '     wie Pentagon (das Fünfeck mit fünf Winkeln )

METRIE : bedeutet  ' Messung '      wie Geometrie



Das Wort impliziert die  Dreieckwinkelmessung oder  die Dreiecksberechnung. Während Planimetrie die Konstruktion eines Dreicks aus gegebenen Stücken lehrt, bei der die Genaugkeit der Resultate verhältnismässig geringst liefert die Trigonometrie auf rechnerischem Wegexaktere Ergebnisse.

In einem rechtwinkligen Dreieck ABC seien a und b die Katheten , c die Hypothenuse die spitzen Winkel entsprechend




 
α und ß wobei gilt : α + β = 90   Man nennt a die Gegenkathete und b die Ankathete des Winkels 



Drei   Wichtige Merksätze:
1) Positive Winkel verlaufen im Gegenuhrzeigersinn
2) Mit Sin, Cos, Tan sind alle unbekannten Werte im rechtwinkligen Dreieck erreichbar. Cot ist nicht nötig.
3) Stets müssen zwei Werte bekannt sein, um den dritten Wert zu berechnen.



                                                                                                                     

             Die Seitenverhältnisse

 

Ankathete:Berührt den gemeinten Winkel

Gegenkathete:Liegt dem gemeinten Winkel gegenüber

Hypothenuse:Liegt dem rechten Winkel gegenüber

 

 Sinus :Das Seitenverhältnis Gegenkathete zu Hypothenuse

             
              G         a

sinα = ------- = -------

                 H           c

Cosinus : Das Seitenverhältnis Gegenkathete zu Hypothenuse

              A          b

 cosα = ------- = -------

              H          c

Tangens : Das Seitenverhältnis Gegenkathete zu Ankathete

              G         a
tanα = ------- = -------   

              A          b  Cotangens : Das Seitenverhältnis Ankathete zu Gegenkathete

                A           b
cotα =  -------  =  -------        
               G            a
Es gibt auch zwei Seitenverhältnisse cotangens und secans ,  die beide trigonometrische Funktionen seit längerem nicht mehr gebräuclich sind.


 Anwendung des Sinus und Cosinussatz:( gilt ein algemeines Dreieck )


Der Sinussatz kann in Dreiecken angewendet werden, bei denen


* 2 Seiten und ein nicht von ihnen eingeschlossener Winkel gegeben sind ( SSW )
* 2 Winkel in die eingeschlossener Seite gegeben sind ( WSW )

Der Cosinussatz kann in Dreiecken angewendet werden , bei denen

* 3 Seiten gegeben sind (SSS )
* 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind ( WSW )
  


 
 

           Trigonometrie im Alltag

• Mit den trigonometrische Funktion die Höhe von Bäumen berechnet. Es genügt, lediglich den Winkel bis zur Baumkrone.
• Entfernungen leichter schätzen: Mit den Winkelfunktionen lassen sich tolle Dinge anstellen. Mit ihnen ist es auch möglich seinen Daumen zur Entfernungbestimmung zu benutzen.Dies kann man sich etwa beim Golfspielen zunutzemachen, um die Entfernung zum loch besser abschätzen zu können. Dazu ist es lediglich nötig, die Höhe der Fahnen zu kennen.
• Höhe von Wolken ermitteln.
• Sie Spannung in der Steckdose entsteht beispielweise auf der Grundlage einer Sinus_Funktion

Beispiel: Bestimmung der Breite eines Flusses


Zuerst wird eine Standlinie s abgesteckt. Von s aus wird ein markanter Punkt C auf den gegenüberliegenden Ufer unter dem Winkel α= 90° zur Standlinie angepeilt und so der Punkt A festgelegt. Von einem weiteren Punkt B auf der Standlinie wieder C angepeilt und der Winkel β sowie die Länge der Strecke AB gemessen. Mit diesen Daten jetzt ein maßstabgerechtes Dreieck gezeichnet und die Flussbreite b näherungsweise bestimmt werden.

EINHEITSKREIS : Der Einheitskreis ist der Kreis um den Ursprung mit Radius r= 1

             
 

cos α= x Werte
sin α = y Werte                                                                        

 Vorzeichen des Kosinus

Vorzeichen des Sinus

WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG

• Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

1. Spricht man von Wahrscheinlichkeiten, so erfolgt dies immer im Zusammenhang mit irgendwelchen Ereignissen, die unter bestimmten Bedingungen eintreten können, aber nicht eintreten müssen, bei denen also mehrere Ausgänge möglich sind.
2. Solche Ereignisse werden als zufällige Ereignisse bezeichnet.
3. Wahrscheinlichkeit: Maß für das Eintreten von Ergebnissen bei Zufallsversuchen.
4. ( Ω ) Ergebnisraum :Eine Menge , welche alle Elementarereignisse eines Zufallsexperiments enthält.

( Ω )= Alle Elementarereignisse

Das Elementarereignis wird auch als Ergebnis bezeichnet.Besondere Ereignisse sind das "unmögliche Ereignes" und   "das sichere Ereignes" ist die leere Menge.

DEFINITION: Wahrscheinlichkeit ordnet dem eintreten eines Ereignisses einen numerischen Wert zwischen 0 und 1 zu.Je näher die Wahrscheinlichkeit an der Zahl 1 ist, desto eher wird das Ereignes eintreten.


• Ist die Wahrscheinlichkeit gleich 1 , so wird das Ereignes garantiert eintreten. Man spricht von einem sicheren Ereignes.
• Ist die Wahrscheinlichkeit gleich 0 , so wird das Ereignes nicht eintereten. Man spricht von einem unmöglichen Ereignes.

In der Mathematik werden Angaben über die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses über die Schreibweise P ( A ) = 0,1  gemacht
P englische Wort probility
A das Ereignes
0,1 numerische Wert für das Eintreten

 

Zufallsexperiment:

Zufällige Ereignisse entstehen als ERGEBNIS von Zufallsexperimenten.Es gibt bestimmte Bedingungen für ein Zufallsexperiment:

1. Das Experiment ist beliebig oft unter den gleichen Bedingungen durchführbar
2. Die Ausgänge sind eindeutig angebbar
3. Es ist nicht vorhersagbar , welcher Ausgang des Experiments eintritt

Zufallsexperimente:

• Werfen einer Münze
• Würfeln mit einem ( idealen) Spielwürfel
• Drehen an einem Glücksrad
• Spielstituationen
• Simulationen mit dem Computer

Asymmetrische Zufallsgeneratoren:  Es liegt eine Ungleichverteilung der möglichen Versuchausgängen zugeordneten Wahrscheinlichkeiten vor

• Reißzwecke
• Gezinkter Würfel
• Urnen mit unterschiedlichen großen Kugeln

Absolute und relative Häufigkeit:

Absolute Häufigkeit eines Ereignisses H( E ) = Gibt an, wie oft das Ereignes E nach n Wiederholungen eingetreten ist ( ANZAHL )

Man kann auch die Wahrscheinlichkeit auch mit der relativen Häufigkeit berechnen. Relative Häufigkeit gibt an, h(E) =Anzahl, wie oft E eingetreten ist / Anzahl der Wiederholungen =ANTEIL

                                        

 Beispiel: Ein Würfel wird 40- mal geworfen , mit folgendem Ergebnis

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

relative Häufigkeit=  

Zur Kontrolle , ob wir die relativen Häufigkeiten richtig berechnet haben, addieren wir alle relative Häufigkeiten

0,075 + 0,175 + 0,2 + 0,225 + 0,125 + 0,2 =  1

 

 Die Summe aller relative Häufigkeiten ergibt 1 !!!!!

 

BAUMDIAGRAMM

Mehrstufige Zufallsexperiment

Man wirft erst eine Münze und anschließend einen Würfel.

Die Elementarereignisse könnten dann

Wappen, 1

Wappen, 2

Wappen, 3

Wappen, 4

Wappen, 5

Wappen, 6

 

Zahl, 1

Zahl, 2

Zahl, 3

Zahl, 4

Zahl, 5

Zahl, 6

 

 

 

 

 

Urne mit zwei roten und einer blauen Kugel

 

 

 

 

 

 

Das Baumdiagramm  hilft nicht nur einfach bei der Darstellung des Problems, sondern auch bei der Berechnung.

1. PFADREGEL:Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist gleich dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm.

Wahrscheinlichkeit {rot, blau}=2/3.1/2=2/6=1/3

2. PFADREGEL:Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem mehrstufugen Zufallsexperiment ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade.

Wahrscheinlichkeit {rot, blau},{rot,rot}= 1/3 + ( 2/ 3 . 1/ 2)=1/3 + 1/3= 2/3

 

 

 

 

 

 

 

DAS URNENMODEL:

 

 

Viele Zufallsexperimente können mit dem Ziehen von unterschiedbaren Kugeln aus einem Gefäß, Urne genannt , modelliert werden.

 

Das Ziehen kann auch zwei verschiedene Arten erfolgen:

• Eine Kugel wird gezogen und wieder zurück gelegt. Das nennt man mit Zurücklegen
• Nach dem Ziehen der Kugel wird diese nicht wieder zurückgelegt. Das nennt man ohne Zurücklegen

BEISPIEL:

• Urne mit 6 Kugeln nummeriert von 1 bis 6. Zweimal ziehen mit Zurücklegen

Gesuchte Wahrscheinlichkeit  P ( 6/6 ) = 1/6 . 1/6 =1/36 ≈ 0,028

 

 

• Urne mit 120 Kugeln. Davon sind 102 weiße 18 schwarze.Wir suchen die Wahrscheinlichkeit von schwarze Kugeln, die hintereinander ohne zurückziehen gezogen sind.

P ( s/ s ) = 18/120 .17/119 = 51/2380 ≈ 0,021

 

STUDIUM MÖCHLICHKEITEN IN NRW

Zu einem Studium an einer Hochschule in NRW führen verschiedene Wege:

1) Ein Zeugnis der algemeinen Hochschulreife (Abitur) berechtigt uneingeschränkt zum Studium an Universitäten und Fachhochschulen

2) Die Fachgebundene Hochschulreife berechtigt zum Studium der im Zeugnis ausgewiesene Studiengänge an Universitäten und Fachhochschulen

3) Mit der Fachhochschulreife können Sie auch an Fachhochschulen studieren

4) Berufliche Ausbildung und Berufserfahrung.Unter bestimmten Voraussetzungen können Sie auch ohne Fachhochschule oder Abitur ein Studium aufnehmen

RECHNEN MIT VARIABLEN ( Termumformungen )

Terme sind Rechenausdrücke. Sie können Zahlen und Variablen enthalten. Setzt man für die Variablen Zahlen ein, so erhält man eine Zahl als Ergebnis.

Terme kann man vereinfachen, indem man gleiche Variablen zusammenfast. z.B.

3x+5+2x+4 = 3x+2x+5+4   (Ordnen)
                  = 5x+9            ( Zusammenfassen)


PLUSKLAMMERN: Plusklammern dürfen weglassen werden.


3x+(7a+2x) = 3x+7a+2x
                   = 3x+2x+7a
                   = 5x+7a


MINUSKLAMMERN: Minusklammern dürfen weglassen werden, wenn alle Rechenzeichen i der Klammer ändert.


3x-(7a+2x) = 3x-7a-2x
                  = 3x-2x-7a
                  = x-7a


DISTRIBUTIVGESETZ(Verteilungsgesetz): Wird eine Zahl mit einer Summe multipliziert, so muss die Zahl mit jedem Glied der Summe multipliziert werden.


(x+y).(a+b) = (x+y).a+b.(x+y)
                   = ax+ay+bx+by


MULTIPLIKATION ZWEIER SUMMEN: Zwei Summen werden multipliziert, indem jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert wird und die Produkte addiert werden.


(3x+2b).(5b+2x) = 3x.5b+3x.2x+2b.5b+2b.2x
                           = 15bx+6x^2+10b^2+4bx
                           = 19bx+6x^2+10b^2


AUSKLAMMERN: Enthält in einer Summe jeder der Summanden den gleichen Faktor, so kann dieser als gemeinsamer Faktor ausklammert werden.


ax+ay-az = a(x+y-z)


ZERLEGEN EINER SUMME IN EIN PRODUKT: Auch die Binomischen Formeln können zur Zerlegung einer Summe in ein Produkt verwendet werden.


a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2        ERTE  BINOMISCHE  FORMEL
a^2-2ab+b^2  = (a-b)^2         ZWEITE  BINOMISCHE  FORMEL
a^2-b^2          = (a+b).(a-b)    DRITTE  BINOMISCHE  FORMEL



FACHBEGRIFFE FÜR DIE TERME:
 

                                                 ADDITION

                                   SUMMAND+SUMMAND=SUMME          16+4=20
 
addieren, dazuzählen, vermehren.........


                                               SUBTRAKTION

                                MINUEND -  SUBTRAHEND = DIFFERENZ     16-4=12

subtrahieren, abziehen, vermindern, verkleinern, der Unterschied ........  


                                              MULTIPLIKATION

                             FAKTOR  .   FAKTOR = PRODUKT              16 . 4 = 64

multiplizieren, malnehmen, vervielfachen, das ..... fache von .......



                                                   DIVISION

                                  DIVIDEND :  DIVISOR = QUOTIENT       16:4=4

dividieren, der....te Teil von, die Hälfte von, ein Achtel von,........


Sechs Trick Zum Vereinfachen Von Termen:

Trick 1) Zuerst alle  +   Glieder        13-44+12-8-5+24=

Trick 2) Punkt vor Strich                  32-5.4+8+20:4 =    nach  KLAPUSTRI  REGEL!!!!!!!!

Trick 3) Klammern zuerst ausrechnen     ( 32-5 ).4+( 8+20 ) =

Trick 4) Säcke zu Säcken - Nüsse zu Nüssen      mit Variablen   18x-3+8-y-6x-1+x+2y =
 
Trick 5) Klammern auflösen-Achtung: Minuszeichen davor dreht die Zeichen innen um!
                                                     
             
                 7x+( 3x-7 )-x = 7x+3x-7-x       aber       7x-( 3x-7 )-x = 7x-3x+7-x


Trick 6) Klammern ausmultiplizieren      24x-4.( 12-5x )+8 =



Mit einem Beispiel fassen wir zusammen:

10-3( 6-9 )-( 18-17.2 ) = Klammern zuerst berechnen! Bei verschachtelten Klammern wird die innere Klammer zuerst berechnet.

10-3.( -3 )-(18-34) =

10+9-(-16) =

10+9+16 =35
 

Wichtige Information:  + .+= +               + : +=+
                                         +. -= -                 +: - = -
                                         -.-  = +                -: -  = +

 





LINEARE GLEICHUNGSSYTEMS ( Lineer Denklemler )

Eine Gleichung mit mehreren Unbekannten (Variablen ) heißt linear, wenn die Unbekannten nur in der ersten Potenz vorkommen zB.  5x+4y-3z = 38  . Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen , die gleichzeitig erfüllt sein müssen.


                               Lineare Gleichungssystem mit zwei Unbekannten


Lösungsmöglichkeiten :

1) Es gibt genau eine Lösung, die Geraden schneiden sich in genau einem Punkt.
2) Es gibt mehrere Lösungen, die beiden Geraden sind identisch ( fallen zusammen ).
3) Es gibt keine Lösung, die beiden Geraden sind parallel und voneinander verschieden.

*Einsetzungsmethode:
1) Auflösen einer der beiden Gleichungen nach einer Unbekannten.
2) Einsetzen des für diese Unbekannte erhaltenen Ausdrucks in die andere Gleichung.
3) Auflösung dieser Gleichung nach der ( verbliebenen) einzigen Unbekannten.
4) Einsetzen dieser Unbekannten in 1).Dadurch erhält man die Lösung für die zweite Unbekannte. Falls in 3) ein wiederspruch entsteht, gibt es keine Lösung. Falls in 3) eine Identität zB.
5x+7=5x+7    oder    5=5  entsteht gibt es unendlich viele Lösungen.

Beispiel:  1)  2x+3y=7   => x=3,5 - 1,5y diese Ausdruck einsetzen in die andere Gleichung 
                2) 3x-2y=4
                    3( 3,5-1,5y) - 2y = 4  => y=1 jetzt setzen wir diese Unbekannte in x= 3,5-1,5y
                                                                                                                                  x= 3,5-1,5*1
                                                                                                                                  x=4
Probe: 2x+3y=2*2+3*1          und      3x-2y=3*2-2*1=
                   7 = 7                                         4 = 4



Beispiel: 1) 2x-4y=10      =>  x=2y+5 
               2) -3x+6y= -15
                   -3 ( 2y +5 )+6y= -15
                                     -15= -15   oder 0=0    Diese Gleichung ist für jedes y erfüllt
y beliebig   => x=2y+5  Beide Gleichungen stellen dieselbe Gerade dar.

Beispiel:1) 4x-6y= 7
               2) - x+ 1,5y=2  => x=1,5y-2
                4x-6y=7
                4(1,5y-2) -6y=7 
                            -8 = 7    wiederspruch!   Beide Geraden sind parallel und voneinander verschieden. 



*Gleichsetzungsmethode:
Bei der Gleichsetzungsmethode werden beide Gleichungen nach derselben Unbekannten aufgelöst.Gleichsetzen der Ausdrücke für diese Unbekannte liefert eine Gleichung  für die andere  Unbekannte.Einsetzen der Lösung in die im ersten Schritt aufgelöste Gleichung ergibt die Lösung für die andere Unbekannte.

Beispiel:1) 3x-4y= 5   => y=( 3/4)x-5/4
              2)  9x+3y=6   => y= -3x+2

                          y=y
               (3/4)x-5/4= - 3x+2   => x=13/15 diese Wert einsetzen in y=-3x+2  => y= -3(13/15)+2
                                                                                                                                  y= -3/5

Beispiel: 1) -3x +6y=10    =>  x=2y- 10/3
                2) 2x-4y=8         =>  x=2y+4
                        

 x=x    =>    2y-10/3=2y+4   =>  -10/3=4   wiederspruch! keine Lösung


Beispiel: 1) 3x-6y=12     => x=2y+4 }
                2)-4x+8y=-16  => x=2y+4 }   ist für alle y erfüllt
             y beliebig: x=2y+4  oder x beliebig y=0,5x-2



*Additionsmethode:
Bei der Additionsmethode werden beide Gleichungen so durchmultipliziert, dass bei der Addition ( Subhtaktion) dieser multiplizieren Gleichungen eine Unbekannte wegfällt.Dadurch entsteht eine Gleichung für eine Unbekannte.Aus einer der beiden Ausgangsgleichungen erhält man dann die Lösung für die andere Unbekannte.


Beispiele: 1) 2x+4y= 3      mal mit (3)
                  2) 1,5x+3y=2    mal mit (-4)

                  1) 6x+12=9
                  2) -6x-12y= -8
                               0=1    wiederspruch!   keine Lösung


Beispiele:1) 5x-7y=2   mal mit (6)
                 2)6x-8,4y=2,4 mal mit (-5)
                     30x-42y=12
                   -30x+42y= -12
                               0=0   ist für alle y erfüllt


                   
                               Lineare Gleichungen mit drei Unbekannten


Bei der linearen Gleichungen mit drei Unbekannten wird aus einer Gleichung einer Unbekannte durch die bei den anderen eliminiert.Dieser Ausdruck wird in die beiden anderen Gleichungen eingesetzt.Dadurch entstehen zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten.



Beispiel: 1) x+2y+z=8
                2) x-y+2z=5
                3) 2x+3y-3z= -1        aus 1) folgt x=8-2y-z   dieser Ausdruck einstzen in 2) und 3)


                2) (8-2y-z)-y+2z=5   =>      -3y+z= -3
                3) 2(8-2y-z)+3y-3z= -1 =>  -y -5z= -17 mit (-3)
                                                             -3y+z= -3
                                                              3y+15z=51
                                                                      z=3


y=17-5z=2      =>  y=2
x=8-2y--z=1   =>  x=1 
   


Beispiel:1) -x-3y+4z=8   =>    x= -3y+4z-8
               2) 2x+y-3z=5    =>  2(-3y+4z-8)-3z=5       => -5y+5z=21  mal mit (-3)
               3) 4x-3y-z=10   =>  4(-3y+4z-8)-3y-z=10  => -15y+15z=42
                                                                                          45y-15z= -63
                                                                                         -15y+15z=42
                                                                                                    0= -21    keine Lösung


Falls ein lineares Gleichungssystem ein einzige Lösung liefert, sollte diese Lösung durch Einsetzen in alle gegebenen Gleichungen überprüft werden.Es genügt nicht, die Probe mit einer einzigen Gleichung durchzuführen.Wenn zB bei zwei Gleichungen für zwei Unbekannte mit einem falschen y Wert der x Wert aus der ersten  Gleichung berechnet wird, so stimmt die Probe diese Gleichung, obwohl y und vermutlich x falsch sind.Der Fehler wird erst bei der Probe mit der zweiten Gleichung erkennbar.
Für eine Kurzprobe können alle Gleichungen addiert werden.Dann wird ein Fehler zwar nicht immer, jedochin den meisten Fällen erkennbar.